3 微专题：平面向量模的最值（范围）之求法 讲义-2021-2022学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

【学生版】 微专题：平面向量模的最值（范围）之求法 向量既有大小又有方向，具有数和形的特征。因此，在解题时要注意利用数形结合的方法。尤其是当题目中涉及动点，变量的最值或范围问题时，应该重视平面向量的符号、坐标与有向线段的表示多样性，通过数形结合和函数思想相融合； 求向量模的最值（范围）的方法，通常有：（1）代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，或通过建立平面直角坐标系，借助向量的坐标表示；需要构造不等式，利用均值不等式，三角函数，再用求最值的方法求解；（2）几何法（数形结合法），弄清所求的模表示的几何意义，注意题目中所给的垂直，平行，以及其他数量关系，合理的转化，使得过程更加简单；结合动点表示的图形求解； 【典例】 例1、已知，是单位向量，，若向量满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【提示1】； 【答案】； 【解析1】； 【说明1】； 【提示2】； 【答案】； 【解析2】； 【拓展】求：的最大值； 则，其中表示在方向上的数量投影． 当点运动到处时，在方向上的数量投影最大，最大投影为2，故的最大值为2, 故答案为：2； 【说明2】； 【提示3】． 【答案】； 【解析3】； 【说明3】 例2、已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ） A． B． C．2 D． 【提示1】； 【答案】； 【解析1】 【说明1】 【提示2】 【解析2】； 【注：学习了解析几何后，又解：不妨以为例，则的最小值是到直线的距离减1. 即】 【说明2】 例3、若平面向量，满足，则在方向上数量投影的最大值是________ 【归纳】 1、向量和差的几何意义：已知向量，则有： （1）若共起点，则利用平行四边形法则求，可得是以为邻边的平行四边形的对角线 （2）若首尾相接，则利用三角形法则求出，可得，围成一个三角形 2、向量数乘的几何意义：对于 （1）共线（平行）特点：与为共线向量，其中时，与同向；时，与反向 （2）模长关系： 3、与向量模长问题相关的定理： （1）三角形中的相关定理：设三个内角所对的边为 ① 正弦定理： ② 余弦定理： （2）菱形：对角线垂直平分，且为内角的角平分线 特别的，对于底角的菱形，其中一条对角线将此菱形分割为两个全等的等边三角形。 （3）矩形：若四边形的平行四边形，则对角线相等是该四边形为矩形的充要条件 4、利用几