专题09 立体几何中的角度问题名校重难点题型分类高分必刷题-2021-2022学年高一数学下学期重难点题型分类高分必刷题（人教A版2019必修第二册）

专题09 立体几何中的角度问题名校重难点题型分类-高分必刷题 （原卷版） 专题简介：本份资料包含立体几何中的角度问题这一专题中的三大类题型，所选题目源自各名校期中、期 末试题中的典型考题，具体包含的题型有：异面直线所成的角度问题、直线与平面所成的角度问题、二面 角问题。适合于培训机构的老师给学生作专题复习时使用或者学生考前刷题时使用。 题型一：异面直线所成的角度问题 1.异面直线的概念:异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线．两条直线是异面直线等价于这两条直线既不相交，也不平行．另外特别注意异面直线所成角的范围是. 2. 求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．具体步骤如下： ①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 3.求异面直线所成的角还有向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值. 1.（一中）如图是某正方体的平面展开图，则在这个正方体中与的位置关系为( ) A.平行 B.相交成角 C.异面成角 D.异面且垂直 2.（长郡）在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为( ) A. B. C. D. 3.（一中）如图，在三棱锥中，平面，，，侧棱与平面所成的角为，为的中点，是侧棱上一动点，当的面积最小时，异面直线与所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 4.（周南）已知点为正方体内(含表面)的一点，过点的平面为，以下描述正确的有( )(多选) A.与和都平行的有且只有一个 B.过点至少可以作两条直线与和所在的直线都相交 C.与正方体的所有棱所成的角都相等的有且只有四个 D.过点可以作四条直线与正方体的所有棱所成的角都相等 5.（雅礼）如图所示，在长方体中，，，，为的中点. (1)求证：平面平面； (2)求异面直线与所成的角. 6.（雅礼）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长度为，且，求： (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 题型二：直线与平面所成的角度问题 1.线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，取值范围：[0°，90°]； 2.垂线法求线面角： (1)先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面ɑ做垂线，确定垂足0；(2)连结斜足与垂足为斜线AB在面ɑ上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；(3)把投影B0与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。 3.向量法求线面角：设直线的方向向量和平面ɑ的法向量分别为,则直线与平面ɑ所成角θ满足sinθ=|cos<>|； 7.（明德）如下图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于，的一动点.若，，则直线与平面所成角的正切值是________. 8.（长郡）如图，在边长为的正方形中，，，分别为，，的中点，沿、及把这个正方形折成一个四面体，使得、、三点重合于，得到四面体(如图2).下列结论正确的是( )（多选） A.四面体的外接球体积为 B.顶点在面上的射影为的重心 C.与面所成角的正切值为 D.过点的平面截四面体的外接球所得截面圆的面积的取值范围是 9.（炎德联考）如图，在正方体中，点在线段运动，则( )（多选） A.三棱锥的体积为定值 B.异面直线与所成的角的取值范围为 C.直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D.过作直线，则 10.（周南）如图，平面平面，四边形是边长为的正方形，，是的中点. (1)在图中作出并指明平面和平面的交线；(2)求证：； (3)当时，求与平面所成角的正切值. 11.（长郡）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，， (1)设，分别为，的中点，求证：平面； (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 12.（雅礼）如图所示，是四边形所在平面外的一点，四边形是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，为的中点.求证： (1)平面； (2)求与平面所成的角. 13.（师大）已知正三棱柱中，，是的中点. (1)求证：平面； (2)点是直线上的一点，当与平面所成的角的正切值为时，求三棱锥的体积. 14.（雅