第八章立体几何初步单元检测卷（能力提升）-【一堂好课】2021-2022学年高一数学下学期同步精品课堂（单元复习篇，人教A版2019必修第二册）

第八章 立体几何初步 (能力提升卷) 一、单选题 1.如图,某圆锥的轴截面是等边三角形,点D是线段的中点,点E在底面圆的圆周上,且的长度等于的长度,则异面直线与所成角的余弦值是( ) A. B. C. D. 2.如图,某几何体平面展开图由一个等边三角形和三个等腰直角三角形组合而成,E为的中点,则在原几何体中,异面直线与所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 3.已知三棱锥中,,,,,,则三棱锥的体积是( ) A.4 B.6 C. D. 4.棱长为的正四面体容器中能放进10个半径为1的小球,则的最小值为( ) A. B. C. D. 5.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.宋代称为撮尖,清代称为攒尖.依其平面有圆形攒尖,三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等,也四有单檐和重檐之分,多见于亭阁式建筑.如图所示.某园林建筑屋顶为六角攒尖,它的主轮廓可近似看作一个正六棱锥(底面为正六边形,从顶点向底面作垂线,垂足是底面中心).若正六棱锥的侧棱与高线所成的角为,则其外接球半径与侧棱长的比值为( ) A. B. C. D. 6.正四面体内放入一个可以自动充气的球,当球和四面体的面相切时,球的半径与该正四面体的高的比值为( ) A. B. C. D. 7.已知点在半径为2的球面上,满足,,若S是球面上任意一点,则三棱锥体积的最大值为( ) A. B. C. D. 8.足球运动成为当今世界上开展最广、影响最大、最具魅力、拥有球迷数最多的体育项目之一,2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球赛.比赛于2022年11月21日至12月18日在卡塔尔境内7座城市中的12座球场举行.已知某足球的表面上有四个点A,B,C,D满足,二面角的大小为,则该足球的体积为( ) A. B. C. D. 二、多选题 9.已知球O的半径为4,球心O在大小为60°的二面角内,二面角的两个半平面所在的平面分别截球面得两个圆,,若两圆,的公共弦AB的长为4,E为AB的中点,四面体的体积为V,则正确的是( ) A.O,E,,四点共圆 B. C. D.V的最大值为 10.如图,长方体中,,,M为的中点,过作长方体的截面交棱于N,则( ) A.截面可能为六边形 B.存在点N,使得截面 C.若截面为平行四边形,则 D.当N与C重合时,截面面积为 11.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”,它能在两个平行平面间自由转动,并且始终保持与两平面都接触,因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心,以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分,如图所示,若正四面体的棱长为,则( ) A.勒洛四面体最大的截面是正三角形 B.勒洛四面体表面上任意两点间的距离的最大值为 C.勒洛四面体四个曲面所有交线长的和为 D.勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 12.在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,平面,且.若点,,分别为棱,,的中点,则( ) A.平面 B.直线和直线所成的角为 C.当点在平面内,且时,点的轨迹为一个椭圆 D.过点,,的平面与四棱锥表面交线的周长为 三、填空题 13.已知三棱锥中,两两垂直,且长度相等,若都在半径为1的同一球面上,则球心到平面的距离为_. 14.运用祖暅原理计算球体积时,构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱,与半球如图一放置在同一平面上,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥(如图二),用任何一个平行于底面的平面去截它们时,可证得所截得的两个截面面积相等,由此证明该几何体与半球体积相等.现将椭圆绕轴旋转一周后得一橄榄状的几何体(如图三),类比上述方法,运用祖暅原理可求得其体积等于_. 15.如图,在棱长均为的正四面体中,为中点,为中点,是上的动点,是平面上的动点,则的最小值是_. 16.已知正方体的棱长为为体对角线的三等分点,动点在三角形内,且三角形的面积,则点的轨迹长度为_. 四、解答题 17.已知四棱锥中,,侧面底面ABCD,E,F分别为PC,CD的中点. (1)设点Q为BE上的动点,求证:平面PAD; (2)设Q为线段BE上靠近E的一个三等分点,求三棱锥P-BFQ的体积. 18.在四棱锥中,底面ABCD为梯形,已知,,,△PBC是以BC为斜边的等腰直角三角形. (1)证明:平面PBC; (2)Q为棱AB上一点,且三棱锥的体积为,求的大小. 19.如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,,,二面角的平面角的大小为,和均为等边三角形,,分别为线段,的中点. (1)证明:平面; (2)设直线与平面所成角为,求的值. 20.如图,几何体为一个圆柱和圆锥的组合体,圆锥的底面和圆柱的一个底面重合,圆锥的顶点为P,圆柱的上、下底面的圆心分别为、,且该几何体有半径为1的外接球(即圆锥的项点与底面圆周在球面上,且圆柱的底面圆周也在