第八章 立体几何初步知识总结

第八章  立体几何初步

要点一：空间几何体的结构与特征

   1．棱柱的有关概念、性质和分类

（1）概念：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫做棱柱．

（2）准确理解棱柱的概念要注意它的两大特征：

①有两个面互相平行（底面）；②其余各面每相邻两个四边形的公共边都互相平行．

（3）棱柱的性质：

①侧棱都相等，侧面都是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形，

（4）棱柱的分类：

①按底面多边形的边数分为：三棱柱、四棱柱……

②按侧棱与底面的位置关系分：

（5）特殊的四棱柱：

①；

②长方体对角线定理：长方体一条体对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．

熟练掌握棱柱的概念，才能准确地应对概念题，也能准确地判断棱柱中的线面关系．

2．棱锥的概念和性质

（1）概念：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥．

（2）正确理解棱锥的概念要注意它的两大特征：

①有一个面是多边形；②其余各面是有一个公共顶点的三角形．

（3）一般棱锥的截面性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比．

（4）正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥．

（5）正棱锥的性质：

①各侧棱相等，各侧面都是个等的等腰三角形；

②棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；③棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形．

掌握正棱锥的概念和性质，特别是其中的几个直角三角形，可求高、斜高、侧棱长等．另外，还要熟悉一条侧棱垂直于底面的棱锥，高考中棱锥多半是这两种．

3．棱台的概念及性质

（1）概念：底面水平放置的棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．

（2）棱台的有关概念：

①原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面、上底面；其他各面叫做棱台的侧面；

②相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；

③当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段的长或距离叫做棱台的高；

④正棱台各侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．

（3）正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．

（4）正棱台的性质：

①各侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形；

②两底面以及平行于底面的截面是相似多边形；

③两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；

④两底面中心连线、侧棱和两底面相应外接圆的半径也组成一个直角梯形；

⑤正棱台的上下底面中心的连线是棱台的一条高；

⑥正四棱台的对角面是等腰梯形．

4．圆柱、圆锥、圆台的概念与性质

（1）概念：分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台．

（2）性质：

①平行于底面的截面都是圆；

②它们的轴截面分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形．

（3）圆台的中截面而积：．

（4）圆心角：

①圆锥侧面展开图的扇形圆心角：（其中l、r分别为圆锥的母线长、底面半径）；

②圆台侧面展开图的扇环圆心角：（其中l为圆台的母线长，分别为圆台上、下底面半径）．

（5）圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键．

（6）计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截而将空间问题转化为平面问题．

5．球的概念与性质

（1）概念：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆面旋转一周所形成的几何体叫球

（2）球的性质：

①同一个球的半径都相等，直径也相等；

②用任意平面截球的截面都是一个圆，过球心的截面所得到的圆的直径最大．

（3）与球有关的组合体问题：一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线的长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题；球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图．

6．三视图和直观图

三视图和直观图是空间几何体的不同表现形式，空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质，由空间几何体可以画出它的节视图，同样，由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化．

（1）画三视图时，可以把垂直投影面的视像想象成平行光线从不同方向射向几何体所成的像，可见的轮廓线（包括被遮挡但是可以经过想象透视的轮廓线）的投影就是所要画出的视图．

（2）检验所画视图是否符合“长对正，宽相等，高平齐”的基本特征．

（3）旋转体的三视图中，一般有两个视图是相同的，

并且这两个相同的视图中包含有这个旋转体的轴截面．

（4）斜二测画法的画图规则可以简要说成：“竖直或水平放置的线段画出时，长度、方向都不变；前后方向放置的线段画出时，与水平方向成（或）角，长度画成原长度的一半（仍表示原长度）．”

在画出直观图时，首先应该画出图形中决定其形状、位置和大小的一些关键点．

7．柱、锥、台、球的表面积和体积

（1）直棱柱的侧面积计算公式：．

（其中h、c分别为直棱柱的高与底面多边形的周长）即直棱柱的侧面积等于它的底面周长与高的乘积．

（2）正棱锥的侧面积计算公式：