专题2.6 概率与统计-随机变量及其分布-【挑战满分】2022年高考数学解答题专项训练（新高考地区专用）

专题2.6 概率与统计-随机变量及其分布 1．求解离散型随机变量的数学期望与方差的一般步骤： （1）分析随机变量的可取值； （2）计算随机变量取不同值时对应的概率； （3）由期望和方差的计算公式，求得数学期望；． （4）若随机变量的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解． 2．求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识的运用． 3．计算时要细心，写出分布列后注意根据概率和为1进行检验． 1．2021年10月16日，是第41个世界粮食日．黑龙江作为全国粮食生产大省，连续十一年粮食产量位居全国首位．近年来受疫情影响，全国各地经济产值均有所下降．为改变现状，各省均推出支持企业落户创业政策，哈市某企业响应号召，引进一条先进食品生产线，以稻米为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为m（），其质量指标等级划分如表： 质量指标值m [70，75） [75，80） [80，85） [85，90） [90，95） [95，100] 质量指标等级 废品 次品 三级 二级 一级 特级 为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产，现从试生产的产品中随机抽取了10000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图： （1）若将频率作为概率，从这10000件产品中随机抽取2件产品，记事件A为“抽出的产品中至少有1件为二级及以上产品”，求事件A发生的概率； （2）若从质量指标值m不低于90的样本中利用分层抽样的方法抽取6件产品，然后从这6件产品中任取3件产品，求质量指标值的件数X的分布列及数学期望； （3）若每件产品的质量指标值m与利润y（单位：元）的关系如表（2<t<4）： 质量指标值m [70，75） [75，80） [80，85） [85，90） [90，95） [95，100] 利润y（元） －3t 2t 3t 4t 5t 每件产品的平均利润达到最大值时，试确定t值及此最大值（结果保留一位小数）． （参考数值：ln2≈0.7，ln5≈1.6）． 【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第九中学校2022届高三下学期第三次模拟考试数学试题 【答案】（1）0.91；（2）分布列见解析，1；（3）t＝3.2时，每件产品的平均利润达到最大约为5.5． 【解析】（1）抽取到为二级及以上产品的件数为Y，则由频率分布直方图可得，任取1件产品为二级及以上产品的概率为5（0.08+0.04+0.02）＝0.7． 则Y~B（2，0.7），则； （2）由频率分布直方图得指标值大于或等于90的产品中， 的频率为0.04×5＝0.2，的频率为0.02×5＝0.1， 所以利用分层抽样抽取的6件产品中，的有4件，的有2件， 从这6件产品中，任取3件，质量指标值的产品件数X的所有可能取值为0，1，2，则：，，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以X的数学期望为； （3）由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m与利润y（元）的关系如表所示（2<t<4）， 质量指标值m [70，75） [75，80） [80，85） [85，90） [90，95） [95，100] 利润y（元） －3t 2t 3t 4t 5t P 0.05 0.1 0.15 0.4 0.2 0.1 所以每件产品的平均利润： ，（2<t<4）， 则，令，解得t＝2ln5， 所以当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当t＝2ln5时，h（t）取最大值为， 当t＝2ln5≈3.2时，每件产品的平均利润达到最大约为5.5． 2．某社区对居民参加体育活动进行随机调查，参与调查的60岁以下和60岁以上的（含60岁）人数如下表： 60岁以下 60岁以上（含60岁） 男性居民 30 40 女性居民 50 20 （1）判断能否有99.9%的把握认为参加体育活动与性别有关； （2）用分层抽样方法，在60岁以下的居民中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记抽到的男性居民数为随机变量X，求X的分布列和数学期望． 附： 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 ，其中． 【试题来源】黑龙江省绥化市高中联盟校2021-2022学年上学期高三12月联考 【答案】（1）有的把握认为参加体育活动与性别有关 （2）分布列见解析，期望为 【解析】（1）由题意可得 故有把握认为参加体育活动与性别有关 （2）以下居民共人，其中男性人，女性人，用分层抽样的方法从中抽人，则男性有人，女