6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例（教师WORD）-2021-2022学年高一数学人教A版必修第二册【创新设计】同步学考笔记

6.4　平面向量的应用 6.4.1　平面几何中的向量方法 6.4.2　向量在物理中的应用举例 课标要求 素养要求 1.会用向量方法计算或证明几何中的相关问题，体会向量在解决平面几何问题中的作用. 2.会用向量方法解决简单的力学问题及其他实际问题，体会向量在解决物理和实际问题中的作用. 通过合作探究用向量方法解决平面几何问题的实际过程，体会数学建模及逻辑推理素养；通过用向量的方法解决力学问题及其他物理问题，体会数学建模及数学运算素养. 自主梳理 1.用向量方法解决平面几何的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系； (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 用向量方法解决平面几何问题的关键是建立数学模型.　　　 2.向量在平面几何中的应用 (1)证明线段平行或点共线问题，常用共线向量定理：a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)). (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)). (3)求夹角问题，用夹角公式：cos θ＝(θ为a与b的夹角). 求线段的长度或说明线段相等，利用向量模的公式： |a|＝＝或||＝(A(xA，yA)，B(xB，yB)). 3.向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力，速度，加速度，位移等. (2)向量的加减法运算体现在力，速度，加速度，位移的合成与分解. (3)动量mv是向量的数乘运算. (4)功是力F与所产生的位移s的数量积. 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)若△ABC是直角三角形，则有·＝0.(×) (2)若∥，则直线AB与CD平行.(×) (3)物理学中的功是一个向量.(×) (4)在△ABC中，若满足＋＋＝0，则G为△ABC的重心.(√) 提示　(1)△ABC中，∠B不一定是直角， (2)直线AB与CD重合或平行， (3)功是力F与所产生的位移s的数量积W＝F·s. 2.在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC(　　) A.是正三角形 B.是直角三角形 C.是等腰三角形 D.形状无法确定 答案　C 解析　(＋)·(－)＝2－2＝0，即||＝||，∴CA＝CB，则△ABC是等腰三角形. 3.作用于原点的两个力F1＝(1，1)，F2＝(2，3)，为使它们平衡，需加力F3＝________. 答案　(－3，－4) 解析　由题意知，F1＋F2＋F3＝0， ∴F3＝－F1－F2＝－(F1＋F2)＝(－3，－4). 4.如图，在平行四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(－3，2)，则·＝________. 答案　3 解析　＝＋＝(＋)＝(－1，2)， ∴·＝(－1，2)·(1，2)＝－1＋4＝3. 题型一　利用向量解决平面几何中的有关问题 角度1　向量解决平面几何中的平行(或共线)问题 【例1】　在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明： (1)DE∥BC； (2)D，M，B三点共线. 证明　如图，以E为坐标原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系. 令||＝1，则||＝1，||＝2. ∵CE⊥AB，AD＝DC，∴四边形AECD为正方形. ∴各点的坐标分别为E(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(－1，1)，A(－1，0). (1)∵＝(－1，1)－(0，0)＝(－1，1)， ＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)， ∴＝，∴∥. ∵B，C，D三点不共线，∴DE∥BC. (2)连接MB，MD. ∵M为CE的中点，∴M， ∴＝(－1，1)－＝， ＝(1，0)－＝. ∴＝－，∴∥. ∵MD与MB有公共点M，∴D，M，B三点共线. 思维升华　无论是直线平行还是三点共线问题，应用向量方法解决，实质上是利用向量共线定理. (1)几何图形中要证明线段AB∥CD，只需证明存在实数λ，使得＝λ或x1y2－x2y1＝0，其中＝(x1，y1)，＝(x2，y2). (2)几何图形中要证明A，B，C三点共线，只需证明存在实数λ，使得＝λ或存在实数t，使得＝t＋(1－t)(O为A，B，C所在直线外一点). 【训练1】　如图，已知AD，BE，CF是△ABC的三条高，且交于点O，DG⊥BE于点G，DH⊥CF于点H.求证：HG∥EF. 证明　∵⊥，⊥，∴∥. 设＝λ(λ≠0)，则＝λ. 同理＝λ. 于是＝－＝λ(－)＝λ， ∴∥，∵点G不在直线EF上，∴HG∥EF. 角度2　向量解决平面几何中的垂直问题 【例2】　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB