6.3.5 平面向量数量积的坐标表示（教师WORD）-2021-2022学年高一数学人教A版必修第二册【创新设计】同步学考笔记

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 课标要求 素养要求 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算. 2.能运用坐标表示两个向量的夹角和模，会利用坐标运算判断向量垂直. 通过推导数量积的坐标运算、求夹角和模及向量垂直的判断，体会逻辑推理素养及数学运算素养. 自主梳理 1.向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. 2.平面向量坐标表示的几个公式 (1)向量模的坐标公式 若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，或|a|＝. (2)两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式 ||＝ (3)两向量夹角的余弦公式 设a，b是两个非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cos θ＝＝. (1)θ为锐角或零角⇔x1x2＋y1y2>0；(2)θ为钝角或θ＝π⇔x1x2＋y1y2<0.　　　 3.向量垂直的条件 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)向量的模等于向量坐标的平方和.(×) (2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(×) (3)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角.(×) 提示　(1)向量的模等于向量坐标的平方和的算术平方根. (2)只有a与b为非零向量时才正确. (3)当θ＝180°时，cos θ＝－1<0，但不是钝角. 2.若a＝(2，－3)，b＝(x，2x)，且3a·b＝4，则x等于(　　) A.3 B. C.－ D.－3 答案　C 解析　由3a·b＝4，得(6，－9)·(x，2x)＝－12x＝4. ∴x＝－. 3.已知a＝(－，－1)，b＝(1，)，那么a，b的夹角θ＝(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　cos θ＝＝－，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝. 4.已知向量a＝(1，)，b＝(－2，0)，则|a＋b|＝________. 答案　2 解析　易知a＋b＝(－1，)， 从而|a＋b|＝＝2. 题型一　平面向量数量积的坐标表示 【例1】　已知向量a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10. (1)求向量a的坐标； (2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a. 解　(1)∵a与b同向，又b＝(1，2)， ∴可设a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0). 又∵a·b＝10，∴1·λ＋2·2λ＝10， 解得λ＝2>0，∴a＝(2，4). (2)∵b·c＝1×2＋2×(－1)＝0，∴(b·c)·a＝0. 思维升华　1.进行数量积的坐标运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2及向量的坐标运算，并注意与函数、方程等知识的联系. 2.向量数量积的运算有两种思路：一种是基向量法，另一种是坐标法，两者相互补充.如果题目中的图形是等腰三角形、矩形、正方形等特殊图形时，一般选择坐标法. 【训练1】　已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝(　　) A.10 B.－10 C.3 D.－3 答案　B 解析　a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)， 所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10. 题型二　计算平面向量的模 【例2】　(1)已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1，2)，B(4，1)，C(0，－1)，则△ABC的形状为(　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.以上均不正确 (2)已知向量a＝(x，y)，b＝(－1，2)，且a＋b＝(1，3)，则|a－2b|＝________. 答案　(1)C　(2)5 解析　(1)||＝＝， ||＝＝. 又||＝＝. ∴||＝||，且||2＋||2＝||2， 因此△ABC为等腰直角三角形. (2)∵a＋b＝(x－1，y＋2)＝(1，3)，则x＝2，且y＝1. ∴a＝(2，1). 则a－2b＝(4，－3)，故|a－2b|＝＝5. 思维升华　向量模的问题的解题策略 (1)字母表示下的运算，利用|a|2＝a2将向量模的运算转化为向量的数量积的运算. (2)坐标表示下的运算，若a＝(x，y)，则|a|＝，求模时，勿忘记开平方. 【训练2】　已知a＝(1，－2)，b＝(x，2)，且a∥b，则|b|＝(　　) A.2 B. C.10 D.5 答案　B 解析　因为a＝(1，－2)，b＝(x，2)，且a∥b， 所以2x＋2＝0，解得x＝－1， 所以b＝(－1，2)，则|b|＝＝. 题型三　平面向量的夹角与垂直 【例3】　已知点A(2，1)，B(3，2)，D