6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示（教师WORD）-2021-2022学年高一数学人教A版必修第二册【创新设计】同步学考笔记

6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 课标要求 素养要求 掌握数乘向量的坐标运算法则，理解用坐标表示平面向量共线的条件，掌握三点共线的判断方法. 通过数乘向量的坐标运算，理解平面向量共线的坐标表示形式，体会数学运算及数学抽象素养. 自主梳理 1.平面向量数乘的坐标运算 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 坐标表示：a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy). 2.平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 如果用坐标表示，可写为a∥b⇔(x1，y1)＝λ(x2，y2)， 消去λ，得x1y2－x2y1＝0，即向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. 3.中点坐标公式 若P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式. 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a∥b，则＝.(×) (2)若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y1－x2y2＝0，则a∥b.(×) (3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y2≠x2y1，则a与b不共线.(√) (4)若A，B，C三点共线，则向量，，都是共线向量.(√) 提示　(1)当y1y2＝0时不成立. (2)两向量共线的坐标表示为x1y2－x2y1＝0. 2.已知向量＝(2，4)，＝(0，2)，则等于(　　) A.(－2，－2) B.(2，2) C.(1，1) D.(－1，－1) 答案　D 解析　∵＝(2，4)，＝(0，2)， ∴＝(－)＝[(0，2)－(2，4)]＝(－1，－1). 3.已知P(2，6)，Q(－4，0)，则PQ的中点坐标为________. 答案　(－1，3) 解析　根据中点坐标公式可得，PQ的中点坐标为(－1，3). 4.已知a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，且a∥b，则m＝________. 答案　9 解析　∵a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，且a∥b， ∴－6×(－3)－2m＝0，则m＝9. 题型一　向量的坐标运算 【例1】　已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求： (1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b. 解　(1)2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1) ＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7). (2)a－3b＝(－1，2)－3(2，1) ＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1). (3)a－b＝(－1，2)－(2，1) ＝－＝. 思维升华　向量的坐标运算主要是利用加、减运算法则及数乘运算进行，解题时要注意方程思想的运用及正确使用运算法则. 【训练1】　(1)已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝(　　) A.(－23，－12) B.(23，12) C.(7，0) D.(－7，0) (2)已知M(3，－2)，N(－5，－1)，＝，则P点坐标为________. 答案　(1)A　(2) 解析　(1)由3a－2b＋c＝0， ∴c＝－3a＋2b＝－3(5，2)＋2(－4，－3)＝(－23，－12)， ∴c＝(－23，－12). (2)设P(x，y)，∴＝(x－3，y＋2)，＝(－8，1)， 由＝得解得 故P. 题型二　向量平行(共线)的判定 【例2】　已知A，B，C三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，且＝，＝，求证：∥. 证明　设E(x1，y1)，F(x2，y2). 由题意知＝(2，2)，＝(－2，3)，＝(4，－1)， ∴＝＝， ＝＝， ∴(x1，y1)－(－1，0)＝， (x2，y2)－(3，－1)＝， ∴(x1，y1)＝，(x2，y2)＝， ∴＝(x2，y2)－(x1，y1)＝. ∵4×－(－1)×＝0， ∴∥. 思维升华　向量共线的判定方法 (1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b. (2)利用向量共线的坐标表示，由x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))直接判断a与b是否平行. 【训练2】　已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？ 解　因为＝(2，4)，＝(1，2)， 又因为2×2－4×1＝0， 所以∥， 因为＝(2，6)，＝(2，4)， 所以2×4－2×6≠0， 所以A，B，C三点不共线，所以直线AB与直线CD不重合，所以AB∥CD. 题型三　利用向量共线求参数 【例3】　(1)已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋4b与a－2b共线，则m的值为(　　) A. B