6.2.3 向量的数乘运算（教师WORD）-2021-2022学年高一数学人教A版必修第二册【创新设计】同步学考笔记

6.2.3　向量的数乘运算 课标要求 素养要求 1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义. 2.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义. 通过向量数乘运算知识的形成过程，体会数学抽象在概念及性质的产生发展过程中的作用，进一步提升数学运算素养及数学抽象素养. 自主梳理 1.向量的数乘运算 (1)定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|. ②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0. (1)若λa＝0，则λ＝0或a＝0； (2)当a≠0时，向量是与向量a同向的单位向量.　　　 (2)设λ，μ为实数，则有： ①λ(μa)＝λμa； ②(λ＋μ)a＝λa＋μa； ③λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)， λ(a－b)＝λa－λb. 2.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 规定0向量与任意向量共线.　　　 3.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)若λa＝0，则a＝0(其中λ为实数).(×) (2)若b＝λa，则a与b共线(其中λ为实数).(√) (3)若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ使b＝λa.(×) 提示　(1)若λa＝0，则a＝0或λ＝0. (3)当b＝0，a＝0时，实数λ不唯一.当a＝0，b≠0时，不存在实数λ. 2.已知非零向量a，b满足a＝4b，则(　　) A.|a|＝|b| B.4|a|＝|b| C.a与b的方向相同 D.a与b的方向相反 答案　C 解析　∵a＝4b，4>0，∴|a|＝4|b|. ∵4b与b的方向相同，∴a与b的方向相同. 3.在▱ABCD中，＝2a，＝3b，则等于(　　) A.a＋b B.a－b C.2a＋3b D.2a－3b 答案　C 解析　＝＋＝2a＋3b. 4.已知非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋2e2，＝－5e1＋6e2，＝7e1－2e2，则共线的三个点是________. 答案　A，B，D 解析　∵＝e1＋2e2，＝＋＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2(e1＋2e2)＝2， ∴，共线，且有公共点B， ∴A，B，D三点共线. 题型一　向量的线性运算 【例1】　(1)3(6a＋b)－9＝________； (2)若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y＝________. 答案　(1)9a　(2)a－b＋c 解析　(1)3(6a＋b)－9＝18a＋3b－9a－3b＝9a. (2)将原等式变形为 2y－a－c－b＋y＋b＝0， 即y－a－c＋b＝0， y＝a－b＋c， ∴y＝＝a－b＋c. 思维升华　1.向量的线性运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行加、减、数乘等运算，也满足运算律，可以进行去括号、移项、合并同类项等变形手段. 2.向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算. 【训练1】　(1)化简的结果是(　　) A.2a－b B.2b－a C.b－a D.a－b (2)已知向量a，b，x，且(x－a)－(b－x)＝x－(a＋b)，则x＝________. 答案　(1)B　(2)0 解析　(1)原式＝(a＋4b－4a＋2b) ＝(－3a＋6b)＝2b－a. (2)由题设得2x－a－b＝x－a－b，则x＝0. 题型二　向量共线的判定及应用 【例2】　设a，b是不共线的两个非零向量. (1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A，B，C三点共线； (2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值. (1)证明　∵＝－＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b， 而＝－＝(a－3b)－(3a＋b) ＝－(2a＋4b)＝－2， ∴与共线，且有公共点B，∴A，B，C三点共线. (2)解　∵8a＋kb与ka＋2b共线， ∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)， 即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0. ∵a与b不共线， ∴解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4. 思维升华　1.要判定A，B，C三点是否共线，(1)只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)， (2)必须说明构造的两个向量与有公共点. 2.利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应