6.2.2 向量的减法运算（教师WORD）-2021-2022学年高一数学人教A版必修第二册【创新设计】同步学考笔记

6.2.2　向量的减法运算 课标要求 素养要求 借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的减法运算及运算法则，理解向量减法的几何意义. 由向量的加法运算类比得到向量的减法运算，培养数学抽象素养及数学运算素养. 自主梳理 1.相反向量 (1)定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. (2)性质：①对于相反向量有：a＋(－a)＝0. ②若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. ③零向量的相反向量仍是零向量. 2.向量减法的定义 向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b).求两个向量差的运算叫做向量的减法. 3.向量减法的几何意义 作法一：已知非零向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，如图所示.即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量. 作法二：(相反向量法)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝－b，连接AB.由向量减法的定义知a－b＝a＋(－b)＝＋＝.在四边形OCAB中，OB綊CA，所以OCAB是平行四边形，所以＝＝a－b. 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)相反向量就是方向相反的向量.(×) (2)向量与是相反向量.(√) (3)两个向量的差仍是一个向量.(√) (4)相反向量不一定是平行向量，平行向量一定是相反向量.(×) 提示　(1)相反向量的方向相反，大小相等；方向相反的向量只是方向相反，大小没有关系. (4)相反向量是平行向量，平行向量不一定是相反向量. 2.在△ABC中，若＝a，＝b，则＝(　　) A.a＋b B.a－b C.b－a D.－a－b 答案　C 解析　＝－＝b－a. 3.若非零向量a，b互为相反向量，则下列说法中错误的是(　　) A.a∥b B.a≠b C.|a|≠|b| D.b＝－a 答案　C 解析　非零相反向量a，b的模|a|＝|b|. 4.－－－＝________. 答案　 解析　－－－＝(－)－(＋)＝－0＝. 题型一　向量的减法 【例1】　(1)在△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，则－等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点， ∴＝，＝， 因此－＝－＝＝. (2)如图，已知向量a，b，c，求作a－b－c. 解　如图，以A为起点分别作向量和，使＝a，＝b.连接CB，得向量，再以C为起点作向量，使＝c.连接DB，得向量.则向量即为所求作的向量a－b－c. 思维升华　1.作两向量的差的步骤 2.求两个向量的差可转化为向量的加法来进行. 【训练1】　向量可以写成： ①＋；②－；③－；④－. 其中正确的是________(填序号). 答案　①④ 解析　①＋＝；②－＝－－＝－(＋)≠；③－＝；④－＝，故填①④. 题型二　向量的加减法运算 【例2】　化简：(1)(－)－(－)； (2)(＋＋)－(－－). 解　(1)(－)－(－)＝－＝. (2)(＋＋)－(－－) ＝＋－＋(＋) ＝＋－＋＝－＋ ＝＋＋＝＋＝0. 思维升华　1.向量加减法运算的基本方法 (1)利用相反向量统一成加法(相当于向量求和)； (2)运用减法公式－＝(正用或逆用)； (3)运用辅助点法，利用向量的定义将所有向量转化为以其中一确定点为起点的向量，使问题转化为有共同起点的向量问题. 2.向量加减法运算结果仍然是向量. 【训练2】　化简下列式子： (1)－－－； (2)(－)－(－). 解　(1)原式＝＋－＝＋＝－＝0. (2)原式＝－－＋＝(－)＋(－)＝＋＝0. 题型三　向量加减运算几何意义的应用 【例3】　已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，求|a＋b|的值. 解　如图所示，设＝a，＝b，则＝a－b. 以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则＝a＋b. 由于(＋1)2＋(－1)2＝42， 故||2＋||2＝||2. 所以△OAB是以∠AOB为直角的直角三角形， 从而OA⊥OB，所以▱OACB为矩形. 根据矩形的对角线相等有||＝||＝4， 即|a＋b|＝4. 思维升华　1.由|a|，|b|及|a－b|出发，找出三者之间的数量关系，从而进一步判断向量三角形的形状，再求|a＋b|的值. 2.解决此类问题要充分利用平面几何知识，灵活运用平行四边形法则和三角形法则. 3.平行四边形中有关向量的以下结论，在解题中可以直接使用：①对角线的平方和等于四边的平方和，即|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)；②若|a＋b|＝|a－b|，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形 . 【训练3】　设点M是线段BC的中点，点A在线段BC外，||＝4，|＋|＝|－|，则||＝(　　) A.8 B.4