6.2.1 向量的加法运算（教师WORD）-2021-2022学年高一数学人教A版必修第二册【创新设计】同步学考笔记

6.2　平面向量的运算 6.2.1　向量的加法运算 课标要求 素养要求 借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的加法运算及运算法则，并理解向量加法的几何意义. 通过物理模型的研究，体会向量加法运算的形成过程，培养数学抽象及数学运算素养. 自主梳理 1.向量加法的定义 (1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. (2)对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a. 2.向量求和的法则 三角形 法则 如图，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝. 平行四边形法则 如图，以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和. (1)向量加法的三角形法则要“首尾相接”. (2)应用平行四边形法则的前提是两向量“共起点”. 向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义.　　　 3.|a＋b|与|a|，|b|之间的关系 一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立. 4.向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)任意两个向量的和仍然是一个向量.(√) (2)＋＝.(√) (3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线.(×) (4)＋>.(×) (5)||＋||＝||.(×) 提示　(3)任意向量a与零向量的和等于a，而a与它本身共线. (4)由向量加法的三角形法则知＋＝. (5)由向量加法的几何意义知||＋||≥||. 2.在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是(　　) A.＝ B.＋＝ C.＝＋ D.＋＝0 答案　C 解析　因为＝＋≠＋，所以C错误. 3.如图所示，在矩形ABCD中，＋＋＝(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　在矩形ABCD中，＝， 则＋＋＝＋＋＝＋＝. 4.化简＋＋＝________. 答案　0 解析　＋＋＝(＋)＋＝＋＝0. 题型一　向量的加法运算 【例1】　(1)已知平面四边形ABCD，则＋＋＝(　　) A. B. C. D.0 (2)如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝(　　) A. B. C. D. 答案　(1)A　(2)C 解析　(1)＋＋＝＋＝. (2)以OP，OQ为邻边作平行四边形，如图所示，则＋＝，由和的模相等，方向相同，得＝，即＋＝. 思维升华　(1)用三角形法则求和向量，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”. (2)向量求和的多边形法则：＋＋＋…＋An－1An＝.特别地，当An和A1重合时，＋＋＋…＋An－1A1＝0. 【训练1】　(1)正方形ABCD的边长为1，则|＋|为(　　) A.1 B. C.3 D.2 答案　B 解析　在正方形ABCD中，AB＝1，易知AC＝，所以|＋|＝||＝AC＝. (2)如图所示，用向量加法的平行四边形法则作出a＋b. 解　在平面内任取一点O，作＝a，＝b，以，为邻边作平行四边形OACB，则＝a＋b. 题型二　向量的加法运算律 【例2】　设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简： (1)＋＋； (2)＋＋＋； (3)＋＋＋＋. 解　(1)＋＋＝(＋)＋ ＝＋＝. (2)＋＋＋ ＝(＋)＋(＋) ＝0＋0＝0. (3)＋＋＋＋ ＝＋＋＋＋ ＝＋＋＋ ＝＋＋＝＋＝0. 思维升华　向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. (2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序. 【训练2】　已知正方形ABCD的边长等于1，则|＋＋＋|＝________. 答案　2 解析　|＋＋＋|＝|(＋)＋(＋)|＝|＋|＝2||＝2. 题型三　向量加法在实际问题中的应用 【例3】　在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向. 解　作出图形，如图.船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形， 在Rt△ACD中，||＝||＝|v水|＝10 m/min， ||＝|v船|＝20 m/min， ∴cos α＝＝＝，∴α＝60°， 从而船与水流方向成120°