苏教版（2019）必修第二册 第10章 三角恒等变换 知识点+典型例题+自我训练-2023届江苏省南京市秦淮中学高考零轮复习

第10章三角恒等变换 模块一：自主学习 回归教材 知识清单 知识点一：两角和与差的正弦、余弦、正切公式 余弦 正弦 正切： 变形： 拓展：在斜三角形中，有 知识点二：常用拆角、拼角技巧： 例如，； ,,，等 知识点三： 辅助角公式其中 其中称为辅助角，它的终边所在象限由点决定． 知识点四： 二倍角公式 二倍角是相对的，如：是的2倍，是的2倍. S2α 变形：， C2α 变形：， T2α （α≠kπ+且α≠+，k∈Z） ②降幂公式：；； ③升幂公式：；； ； ④万能公式： 拓展： ⑤半角公式： 拓展： 自我体验 一、单选题 1．（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故选：D. 2.（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】故选：B 3．的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】．故选：B． 4．函数是（ ） A．周期为的奇函数B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数 【答案】A 【详解】由题意得，所以，故为奇函数，周期，故选：A 5.已知为锐角，为第三象限角，且，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】为锐角，且，.为第三象限角，且， ， .故选A. 6．若，则=（ ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】，故选：B. 7.已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【解析】.故选：D. 8.若，则（ ） A． B． C． D． 【解析】由，得到 又 所以故选：B 二：填空题 9. 答案： 解析： 10. ； 答案： 解析： 11．已知，且，则____________ 【答案】 【详解】，，且，即，求得（舍去），或， 12．已知，则____________ 【答案】 【详解】因为，所以，又因为， 所以 13.已知，则________． 【解析】因为，由诱导公式得： 所以． ， ．故答案为： 模块二：要点导学 各个击破 典例评析 例1.设函数求的最小正周期和单调递增区间； 当时，求函数的最大值和最小值. 解： ，所以的最小正周期是， 由，，解得，， 所以的单调递增区间为， 当时，，此时，可得， 综上，最大值为，最小值为 例2.已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝. (1)求cos(α－β)的值；(2)若－<β<0<α<，且sin β＝－，求sin α的值． 解　(1)因为向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)， |a－b|＝＝＝， 所以2－2cos(α－β)＝，所以cos(α－β)＝. (2)因为0<α<，－<β<0，所以0<α－β<π，因为cos(α－β)＝， 所以sin(α－β)＝，且sin β＝－，cos β＝， 所以sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝×＋×＝. 反思感悟　解决三角恒等变换与三角函数综合问题的关键在于熟练地运用基本的三角恒等变换思想方法，对其解析式变形、化简，尽量使其化为只有一个角为自变量的三角函数．解决与图象和性质有关的问题，在进行恒等变换时，既要注意三角恒等思想(切化弦、常值代换、降幂与升幂、收缩代换、和差与积的互化、角的代换)的运用，还要注意一般的数学思想方法(如换元法等)的运用． 例3．已知，，且. （1）求的值；（2）若，求的值. 【解析】（1）首先利用诱导公式，化简向量的数量积公式得到，再利用平方关系计算的值；（2）由（1）解出的值，再利用两角差的正切公式，计算的值，求角. 【详解】（1）由题意得，，∴， ∴，∴，∴， 又∵，∴，∴； （2）联立，解得，∴，∴， 即，解得，又∵，∴. 【反思总结】①同角 其中的和差，乘积，平方之间的转化是建立在平方和为1这个隐藏关系的基础之上的 ②从角名形幂这四个字去分析解决问题，往往让思路变得更清晰，便于答题。 ③本题在计算之后，可以猜测答案检验。 跟踪训练3　已知函数f(x)＝cos＋sin2x－cos2x＋2sin xcos x. (1)化简f(x)； (2)若f(α)＝，2α是第一象限角，求sin 2α. 解　(1)f(x)＝cos 2x－sin 2x－cos 2x＋sin 2x ＝sin 2x－cos 2x＝sin. (2)f(α)＝sin＝，2α是第一象限角， 即2kπ<2α<＋2kπ(k∈Z)， ∴2kπ－<2α－<＋2kπ(k∈Z)， ∴cos＝， ∴sin 2α＝sin＝sin·cos ＋cos