专题18.4 菱形的判定与性质（压轴题专项讲练）-2021-2022学年八年级数学下册从重点到压轴（人教版）

专题18.4 菱形的判定与性质 【典例1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝8，AD＝16，BC＝22，∠ABC＝90°，点P从点A出发，以每秒1单位的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以每秒v单位的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）当v＝3时，若以点P，Q和点A，B，C，D中的两个点为顶点的四边形为平行四边形，且线段PQ为平行四边形的一边，求t的值； （2）若以点P，Q和点A，B，C，D中的两个点为顶点的四边形为菱形，且线段PQ为菱形的一条对角线，请直接写出v的值． 【思路点拨】 （1）分四种情况，利用平行四边形的性质对边相等建立方程求解即可得出结论； （2）分两种情形分别求解即可解决问题． 【解题过程】 解：（1）∵当P、Q两点与A、B两点构成的四边形是平行四边形时， ∵AP∥BQ， ∴当AP＝BQ时，四边形APQB为平行四 边形． 此时，t＝22﹣3t，t． 当P、Q两点与C、D两点构成的四边形是平行四边形时， ∵PD∥QC， ∴当PD＝QC时，四边形PQCD为平行四 边形． 此时，16﹣t＝3t，t＝4， ∵线段PQ为平行四边形的一边， 故当t或4时，线段PQ为平行四边形的一边． （2）当四边形PBQD能成为菱形时，设PA＝x， 在Rt△APB中，则有82+x2＝（16﹣x）2， 解得x＝6， ∴PD＝16﹣6＝10． ∴BQ＝PD＝10， ∴QC＝BC﹣BQ＝22﹣10＝12， ∴v米/秒； 当四边形AQCP是菱形时，可得AP＝AQ＝CQ＝y． 在Rt△ABQ中，则有82+（22﹣y）2＝y2， 解得y， ∴AP． ∴QC＝AP， ∴v1米/秒； 综上所述，v的值为2或1时，满足条件． 1．（2021春•孝义市期中）如图，△ABC中，AC，BC＝4，AB，点D是AB的中点，EB∥CD，EC∥AB，则四边形CEBD的周长是（　　） A． B．8 C． D． 【思路点拨】 先证明四边形CEBD是平行四边形，然后利用勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明四边形CEBD是菱形，进而可以解决问题． 【解题过程】 解：∵EB∥CD，EC∥AB， ∴四边形CEBD是平行四边形， 在△ABC中， ∵AC，BC＝4，AB， ∴（）2+42＝2+16＝18＝（3）2， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB＝90°， ∵点D是AB的中点， ∴DC＝AD＝DBAB， ∴四边形CEBD是菱形， 四边形CEBD的周长＝4DB＝46． 故选：C． 2．（2021春•温江区校级期中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，∠BAD的角平分线交BD，BC分别于点O、E，若EC＝3，CD＝4，则BO的长为（　　） A．4 B．3 C． D．2 【思路点拨】 连接DE，因为AB＝AD，AE⊥BD，AD∥BC，可证四边形ABED为菱形，从而得到BE、BC的长，进而解答即可． 【解题过程】 解：连接DE． 在直角三角形CDE中，EC＝3，CD＝4，根据勾股定理，得DE＝5． ∵AB＝AD，AE平分∠BAD， ∴AE⊥BD， ∴AE垂直平分BD，∠BAE＝∠DAE． ∴DE＝BE＝5． ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE＝5， ∴BC＝BE+EC＝8， ∴四边形ABED是菱形， 由勾股定理得出BD， ∴BOBD＝2， 故选：D． 3．（2022春•新华区月考）问题：已知：如图，四边形ABCD是菱形，E、F是直线AC上两点，AF＝CE．求证：四边形FBED是菱形． 几名同学对这个问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（　　） 甲：利用全等，证明四边形FBED四条边相等，进而说明该四边形是菱形； 乙：连接BD，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形FBED是菱形； 丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形． A．甲、乙对，丙错 B．乙、丙对，甲错 C．三个人都对 D．甲、丙对，乙错 【思路点拨】 由全等三角形的性质证出BF＝DF＝BE＝DE，则四边形FBED是菱形，故甲对；再由菱形的性质得OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，则OF＝OE，得四边形FBED是平行四边形，然后由AC⊥BD，得平行四边形FBED是菱形，故乙对，即可得出结论． 【解题过程】 解：甲：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BAD＝∠BCD，AB＝BC＝CD＝AD， ∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝∠DCA， ∴∠BAF＝∠DAF＝∠BCE＝∠DCE， 在△BAF和△DAF中， ， ∴△BAF≌△DAF（SAS）， ∴BF＝DF， 同理：△DCE≌△BC