第六章 计数原理 专题05 非二项式结构问题的处理方法-2021-2022学年“高人一筹”之高二数学“痛点”大揭秘（人教A版2019选择性必修第三册）

第六章 计数原理 专题05 非二项式结构问题的处理方法 二项式定理有关非二项式结构问题，可利用因式分解，将三项式转化为二项式乘积形式，或利用整体思想，再利用二项式定理来解决问题。 从近几年高考命题看，考查考查力度与以往基本相同，与之相关的题目，难度不大． 【题型导图】 类型一 三项展开式问题 例1：（2021·全国·高二）求的展开式中含的项和含的项． 【变式1】（2022·福建·闽侯县）的展开式中的系数是（       ） A．60 B． C．120 D． 【变式2】.（2022·全国·高二）已知，展开式中的系数为56，则（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】（2021·全国·高二）求的展开式的常数项． 类型二 两个二项式乘积展开式问题 例2.（2022·全国·高二）的展开式中，x的指数为偶数的项的系数之和为（       ） A．64 B．48 C．32 D．16 【变式1】（2022·江苏）已知（为常数）的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为（       ） A． B． C． D． 【变式2】（2022·江苏·泰州中学）已知，则___________（用数字作答） 【变式3】设，且的展开式的各二项式系数之和为. （1）求的值； （2）求的值. 【限时训练】 1．（2022·重庆市）的展开式中，含项的系数为（　　） A．26 B．26 C．20 D．20 2．（2022·山东·济宁市）的展开式中的系数为（       ） A． B．5 C． D．25 3．（2022·福建）已知多项式的展开式中的系数为160，则的值为（       ） A． B．0 C．1 D．2 4．（2021·全国·高二）在的展开式中，项的系数为（       ） A． B． C． D． 5．（2021·贵州·威宁）的展开式中，常数项为（       ） A．45 B．66 C．76 D．90 6．（2021·全国·高二）的展开式中的常数项为______（用数字作答）. 7．（2021·湖北武汉）已知，满足，则的展开式中的系数为___________. 8．（2022·全国·高二）已知，则___________. 9．（2022·四川·宁南）已知，则的值为______． 10．（2021·河北·正定）已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有___________ ①； ②展开式中常数项为160； ③展开式中各项系数的绝对值的和1458； ④若为偶数，则展开式中和的系数相等 ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $第六章 计数原理 专题05 非二项式结构问题的处理方法 二项式定理有关非二项式结构问题，可利用因式分解，将三项式转化为二项式乘积形式，或利用整体思想，再利用二项式定理来解决问题。 从近几年高考命题看，考查考查力度与以往基本相同，与之相关的题目，难度不大． 【题型导图】 类型一 三项展开式问题 例1：（2021·全国·高二）求的展开式中含的项和含的项． 【答案】；. 【解析】， 展开式通项为；展开式通项为， 当时，对应的项为；当时，对应的项为； 展开式中含的项为； 当时，对应的项为；当时，对应的项为；当时，对应的项为；当时，对应的项为； 展开式中含的项为. 【变式1】（2022·福建·闽侯县）的展开式中的系数是（       ） A．60 B． C．120 D． 【答案】B 【解析】，展开式的第项为， 令，可得第4项为. 而的展开式的第项为，令，可得第3项为. 所以的展开式中，的系数是. 故选：B. 【变式2】.（2022·全国·高二）已知，展开式中的系数为56，则（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由题知， 故项的系数为，又，解得. 故选：B. 【变式3】（2021·全国·高二）求的展开式的常数项． 【答案】． 【解析】方法一：由二项式定理得 ． 其中为常数项的有 中的第3项：； 中的第2项：； 展开式的最后1项：． 综上可知，常数项为． 方法二：原式． 求原式中展开式的常数项，转化为求的展开式中含的项的系数，即． 所以所求的常数项为． 故答案为： 【痛点直击】解决三项式问题有两种方法：方法一，反复利用二项式定理，先把三项式中的某两项视为一项，用二项式定理展开，再利用二项展开式求解．方法二，转化为二项式．常见的有两种转化形式：三项式恰好是二项式的平方，则可转化为二项式定理求解；三项式可分解因式，则可转化为两个二项式的积的形式．利用二项式定理求特定项，注意题型的变化． 类型二 两个二项式乘积展开式问题 例2.（2022·全国·高二）的展开式中，x的指数为偶数的项的系数之和为（       ） A．