专题07 椭圆的几何性质-2021-2022学年高二数学《基础•重点•难点 》全面题型高分突破（沪教版2020选择性必修第一册）

专题07 椭圆的几何性质 第一部分含离心率，第二部分上海专练 例题1设椭圆：的左、右焦点分别为、，是上的点，，则的离心率为（       ） A． B． C． D． 例题2已知椭圆的左､右焦点分别为､，点､均在椭圆上，且均在轴上方，满足条件，，则（       ） A． B． C． D． 例题3已知椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上，是面积为的正三角形，则（        ） A． B． C． D． 例题4已知椭圆E：（）的右顶点为A，直线交E于第一象限内的点B．点C在E上，若四边形OABC为平行四边形，则（            ） A．若k越大，则E的长轴越长 B．若k越大，则E越扁 C．若，则E的离心率为 D．若，则E的离心率最大 例题5椭圆的左右焦点分别为为坐标原点，给出以下四个命题： ①过点的直线与椭圆交于两点，则△的周长为8； ②椭圆上存在点，使得； ③椭圆的离心率为； ④为椭圆一点，为圆上一点，则点的最大距离为3. 则以下选项正确的是（       ） A．①② B．①③ C．①②③④ D．①②④ 【解题技巧提炼】 1．椭圆的简单几何性质 焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 2.离心率 (1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率． (2)性质：离心率e的范围是(0,1)．当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆． 思考：离心率相同的椭圆是同一椭圆吗？ [提示]　不是，离心率是比值，比值相同不代表a，c值相同，它反映的是椭圆的扁圆程 2．对椭圆几何性质的几点解释 (1)椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离心率决定椭圆的扁平程度，对称性是椭圆的重要特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点．若已知椭圆的标准方程，则根据a，b的值可确定其性质． (2)如图所示，在△OF2B2中，a，b，c，e对应的线段或有关量为a＝|F2B2|，b＝|OB2|，c＝|OF2|，e＝＝＝cos∠OF2B2. (3)若椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，则椭圆与x轴的交点A1，A2到焦点F2的距离分别为最大和最小，且|A1F2|＝a＋c，|A2F2|＝a－c. 3．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距． 4．点与椭圆的位置关系 点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系： 点P在椭圆上⇔＋＝1； 点P在椭圆内部⇔＋<1； 点P在椭圆外部⇔＋>1. 5．直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0 位置关系 解的个数 Δ的取值 相切 一解 Δ＝0 相离 无解 Δ<0 思考：过原点的直线和椭圆相交，两交点关于原点对称吗？ [提示]　根据椭圆的对称性知，两交点关于原点对称． 1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆上一点，满足 (O为坐标原点)．若，则椭圆的离心率为______． 2．若是椭圆C的两个焦点，P为C上一点，且，，则C的离心率为_______． 3．椭圆C：的左焦点为F，若F关于直线的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆的离心率为______． 4．在直角坐标系xoy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1､F2在y轴上，离心率为，过F1的直线l交C于A､B两点，且的周长为16，那么C的方程为___________. 10．如图，焦点在x轴上的椭圆1（a＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线F2P与y轴的正半轴交于A点，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|F1Q|＝4，则该椭圆的离心率为_____． 5．已知㮋圆：的离心率为，和是的左右焦点，M是上的动点，点N在线段的延长线上，，线段的中点为P，则的最大值为______． 6．已知椭圆的离心率为，和是的左右焦点，P是上的动