7.3.2离散型随机变量的方差（基础知识+基本题型）（含解析）-【一堂好课】2021-2022学年高二数学下学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

7.3.2离散型随机变量的方差 （基础知识+基本题型） 知识点一 随机变量的方差与标准差 设离散型随机变量X的分布列为 我们称D(X)= ．为随机变量X的方差，并称其算术平方根， 为随机变量X的标准差． 提示 (1) 描述了．相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)= 是这些偏离程度的加权平均．刻画了随机变量X与其均f值E (X)的平均偏离程度，也就是说，随机变量X的方差就是随机变量X的每一个取值与其均值的差的平 方再乘X取该值的概率的和，所以要求随机变量的方差，应先求出其分布列． (2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，即随机变量集中的位置是随机变量的均值，方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小． (3)若样本数据为则样本的方差为，其中，样本不同，其方羞也不同，即样本的方差是一个随机变量，而随机变量的方差是一个常数，不随样本变化而变化．对于简单随机抽样，随着样本容量曲增加，样本的方差越求越接近于总体方差． 知识点 二两点分布的方差 若X服从两点分布，则D(X)=p(l-p) 知识点三 离散型随机变量的方差的性质 当为常数时，随机变量的方差 拓展 性质的证明：设离散型随机变量的分布列为 … … … … 令 (为常数)，则的分布列为 … … … … 由数学期望的性质．知 故 归纳 （1）从上面的结论可以看出，平移变换不改变随机变量的方差，但伸缩变换改变随机变量的方差． (2)当时，，即常数的方差等于0． (3)当时，，即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身． (4)当时，，即随机变量与常数之积的方差等于这个常数的平方与这个随机变量的方差的乘积． 考点一 离散型随机变量的方差 例1 袋中有5个大小相同的小球，其中白球1个，黑球4个，每次从中任取1个球，若取出的是黑球，则不再放回去，直到取出白球为止，求取球次数的数学期望与方差． 解:由题意，的所有可能取值为1，2，3，4，5 离散型随机变量的分布列为 1 2 3 4 5 ． 总结:求离散型随机变量的方差的步骤: (1)明确随机变量的取值及每个值的试验结果; (2)求出随机变量的各取值对应的概率; (3)写出随机变量的分布列; (4)利用离散型随机变量的均值公式，求出的教学期望; (5)代入公式++…+，求出的方差． 考点二 两点分布的方差 例2 9粒种子分别种在三个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0．5．若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没有发芽，则这个坑需要补种，假定每个坑至多补种一次． (1)求某个坑补种次数的数学期望与方差; (2)每补种一个坑需10元，用表示补种费用，写出的分布列，并求出的数学期望与方差． 解:(1)某坑补种次数，服从两点分布 又因为每个坑需要补种的概率为 所以的分布列为 0 1 所以， (2)方法1: 设为需要补种的坑数，则 又因为，故的取值可能为0，10，20，30 则； ； 故的分布列为 0 10 20 30 考点三 方差性质的应用 1．直接应用 例3 已知随机变量的分布列为 1 2 3 4 5 若，则= _． 解析:因为 所以 答案: 总结:已知 (为常数)，求时．先求出，再利用，分别计算出的值即可． 2．在实际问题中的应用 例4 袋中装有质地、形状、大小相同的黑球、白球和红球共10个，已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是，从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是 (1)求袋中各种颜色球的个数; (2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，求随机变量的分布列、数学期望和方差; (3)若，求出的值． 解:(1)设袋中有个黑球．由题意．得，解得 设白球的个数为．由题意，得． 即．解得或（舍去） 所以袋中有5个白球，4个黑球，1个白球 (2)的取值可能为0，1，2，3．㈡ 则 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 所以 (3)因为，所以，即① 又因为，所以② 利用公式．将求的问题转化为求的问题，从而可以避免求的分布列的烦琐的计算，解题时可以根据两者之间的关系列出等式，进行相关计算． 考点四 离散型随机变量的均值与方差在实际问题中的应用 1．比较技术水平或产品质量问题 例5 甲、乙两名工人加工同一种零件，设两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为，和的分布列如下： 0 1 2 0 1 2 试对