专题09 运用整体思想解二元一次方程组-【专题突破】2021-2022学年七年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义(人教版)

专题训练（九）运用整体思想解二元一次方程组 数学中所谓“整体”是从问题的性质出发，寻找问题体现的共同特点，突出对问题的整体结构的分析和改造，抓住整体特征，建立并把握它们之间的关系，进行有目的、有意识的整体处理的数学思想。整体思想需要用"集成"的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理。 整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。 题型一：整体代入法和加减法 1．小明、小丽两位同学在学习过程中遇到这样一个问题；二元一次方程组的解满足，求x、y、k的值． 解①+②得 ③ 将代入③得 解这个方程得：… 小明                    小丽 可称先消去k （1）请你接着完成小明的过程； （2）请你按照小丽同学的思路完成本题． 【答案】（1）将代入方程组中得， ①+②得：③， ②-①得：④， ③+④得：，解得：， ③-④得：，解得：， 解得：， ∴；                                                                                ． （2）①②得，③， ∵， 则， 将代入③得，， 将代入③得，，                                                               将代入①中得，，                                                                ∴． 2．有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x，y满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得，由①+②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的整体思想． 解决问题： （1）已知二元一次方程组，则________，_______； （2）“战疫情，我们在一起”，爱心公社计划为老年公寓捐赠一批防疫物资．已知购买20瓶消毒液、3支测温枪、2套防护服共需1180元；购买30瓶消毒液、2支测温枪、8套防护服共需2170元，若该公益组织实际捐赠了100瓶消毒液、10支测温枪、20套防护服，则购买这批防疫物资共需多少元？ （3）对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，那么求的值． 【答案】（1）， 由②-①得：，①+②得：， ∴， 答案：，5；                                    （2）设的消毒液单价为m元，测温枪的单价为n元，防护服的单价为p元， 由题意得：，                                              由①+②得：， ∴， 答：购买这批防疫物资共需6700元；                                      （3）由题意得：，                               由3×①-2×②可得：， ∴． 题型二：整体思想解决大数问题 3．在课辅活动中，老师布置了一道这样的题：探究方程组：的不同解法．同学们发现：虽然这个方程组中x，y的系数及常数项的数值较大，但我们也是可以用教材上学过的常规的代入消元法、加减消元法来解出来的，但老师应该出题还有深意：此类题是不是还有更好的消元方法呢？ 小明带着这个问题和同学们进行了激烈的讨论，并查找了一些课外辅导资料，他们发现采用下面的解法来消元更简单： ①﹣②得2x+2y＝2，所以x+y＝1③． ③×35﹣①得3x＝﹣3． 解得x＝﹣1，从而y＝2． 所以原方程组的解是． 请你认真观察方程组的特点，也尝试运用小明他们发现的上述方法解这个方程组：． 【答案】②﹣①得3x+3y＝3， 即x+y＝1③， ③×2018，得：2018x+2018y＝2018④， ④﹣①得2x＝﹣2， 解得x＝﹣1， 将x＝﹣1代入③，得：﹣1+y＝1， 解得y＝2， ∴原方程组的解为． 题型三：整体思想解决参数问题 4．阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把，看成一个整体，设，， 原方程组可化为，解得，， ∴原方程组的解为， 请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组 【答案】设，，原方程可化为 ，即， ②-①得，， ∴， 把代