专题19 线线、线面、面面垂直的证明问题-【专题重点突破】2021-2022学年高一数学下学期核心考点精讲精练(人教B版2019必修第三、四册)

专题19 线线、线面、面面垂直的证明问题 一、直线与平面垂直的判定定理 1、文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 2、符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 3、图形语言： 5、作用：证明线面垂直 二、直线与平面垂直的性质定理 1、文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行. 2、符号语言：⇒a∥b 3、图形语言： 4、作用：①线面垂直⇒线线平行 ②作平行线 5、推论： （1）一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直． （2）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面. （3）若一条之心垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面/ （4）垂直于同一条直线的两个平行平行. 三、平面与平面垂直的判定定理 1、文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 2、图形语言： 3、符号语言：l⊥α，l⊂β⇒α⊥β 四、平面与平面垂直的性质定理 1、文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线， 那么这条直线与另一个平面垂直 2、图形语言： 3、符号语言：⇒a⊥β 4、作用：①面面垂直⇒线面垂直 ②作面的垂线 考向1 线线垂直证明 【例1】如图所示，在平面内，且于，求证：. 【答案】证明见解析； 【解析】∵， ∴ 又∵，， ∴， ∵，平面，平面， ∴平面， 又∵平面， ∴. 【变式1-1】如图，三棱柱中，，，.证明. 【答案】证明见解析. 【解析】取中点，连接、、， ，，则为等边三角形， 因为为的中点，则， ，则， ，故平面， 平面，因此，. 【变式1-2】如图，已知在正方体中，E为的中点．求证：． 【答案】证明见解析. 【解析】连接， 在正方体中且面， 又面， 则，且，、面， 所以面， 又面，即. 【变式1-3】如图所示，在直三棱柱中，，，，，M是中点，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】如图D-1-18，连接． ∵，， ∴∽，∴， ∴， ∴． ∵三棱柱为直三棱柱，∴． 又∵，， ∴平面 ∵平面， ∴ ∵， ∴平面，因为平面 ∴ 考向2 线面垂直证明 【例2】如图，在正方体中，E，F分别是棱，的中点， 求证：平面EAB． 【答案】见解析 【解析】E，F分别是棱，的中点， 在Rt△和Rt△中，， 所以Rt△ Rt△，所以△， 因为，所以， 所以，即， 又因为正方体中， 平面，平面， 所以，和平面EAB内的两条相交直线， 所以平面EAB. 【变式2-1】如图，在三棱锥P-ABC中，底面ABC，，D为BP的中点，. (1)求证：平面PAB； (2)求证：平面PBC. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）因为底面ABC，底面ABC， 所以， 又，，平面PAB； 所以平面PAB； （2）由（1）得平面PAB， 又平面PAB，所以， 又D为BP的中点，，所以， 又，平面PBC， 所以平面PBC. 【变式2-2】如图，在三棱柱中，为正三角形，，，为的中点，证明：平面 【答案】证明见解析 【解析】，得， 因为为正三角形，所以为正三角形. 因为为的中点.所以， 因为，所以， 因为，平面， 所以平面 【变式2-3】如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，ADBC，PA=AD=CD=2，BC=3.E为PD的中点，点F在PC上，且，求证：CD⊥平面PAD. 【答案】证明见解析 【解析】因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD， 所以PA⊥CD， 又因为AD⊥CD， 所以CD⊥平面PAD. 考向3 面面垂直证明 【例3】如图，四边形为正方形，、分别为、的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【解析】证明：在正方形中，且， 因为、分别为、的中点， 则且，， 故四边形为矩形，则， 又因为，， 所以，平面， 因为平面， 因此，平面平面. 【变式3-1】如图，在圆锥PO中，已知，的直径，C是上一点（异于A，B），D为AC的中点．求证：平面平面PAC． 【答案】证明见解析 【解析】因为是的直径，C是上一点，所以， 因为D为AC的中点，是的直径， 所以‖， 所以， 因为在圆锥PO中，平面，平面， 所以， 因为，所以平面， 因为平面PAC， 所以平面平面PAC． 【变式3-2】如图，在四面体中，，．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【解析】由题设知，与是全等的等腰三角形， 取的中点E，连接，，则，． 在中，，， 所以，同理， 在中，，． 由于，所以， 又，平面． 又平面，所以平面平面． 【变式3-3】已知多面体ABCDEF如图，是正三角形，，平面，，，G，H分别是线段上的点，，．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【解析】设