专题18 线线、线面、面面平行的证明问题-【专题重点突破】2021-2022学年高一数学下学期核心考点精讲精练(人教B版2019必修第三、四册)

专题18 线线、线面、面面平行的证明问题 一、直线与平面平行的判定定理： 1、文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，该直线与此平面平行 2、符号：⇒l∥α 3、图形： 二、直线与平面平行的性质定理 1、文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行． 2、符号语言：l∥α，l⊂β，β∩α＝m⇒l∥m. 3、图形语言： 三、平面与平面平行的判定定理 1、文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 (简记为“线面平行⇒面面平行”) 2、符号语言：∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α∴α∥β 3、图形： 4、判定定理推论：如果一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线， 则这两个平面平行． 四、平面与平面平行的性质定理 1、文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 2、符号语言：∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b 3、图形： 4、性质定理推论： 推论1：如果两个平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面． 推论2：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例 考向1 线线平行证明 【例1】如图，三棱锥中，△为正三角形，点在棱上，、分别是棱、的中点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：. 【答案】证明见解析 【解析】在三棱锥中，因分别是棱PB，PC的中点， 则，而平面，平面， 于是得平面，平面，平面平面， 从而有， 所以. 【变式1-1】在如图的几何体中，四边形是梯形，，平面与平面交于，求证：. 【答案】证明见解析 【解析】因，平面，平面，则有平面， 又平面平面，平面， 所以． 【变式1-2】在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形E，F分别为BC，AD的中点，过EF的平面与平面PCD交于M，N两点，求证： 【答案】证明见解析 【解析】∵底面ABCD为平行四边形，E，F分别为BC，AD的中点， ∴EFCD，∴EFAB． 又因平面PCD，平面PCD，所以平面PCD， 因为过EF的平面与平面PCD交于M，N两点， ∴MNEF，∴ABMN． 【变式1-3】在正四棱锥中，分别是的中点，过直线的平面分别与侧棱交于点，求证： 【答案】证明见解析． 【解析】在中，因为E，F分别是的中点， 所以且， 又因为平面，平面，所以平面， 因为平面平面， 所以，所以． 考向2 线面平行证明 【例2】如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，D为BC的中点，连接AD，DC1，A1B，AC1，求证：A1B∥平面ADC1. 【答案】证明见解析 【解析】如图，连接A1C，设A1C∩AC1＝O，再连接OD. 由题意知，A1ACC1是平行四边形， 所以O是A1C的中点， 又D是CB的中点， 因此OD是△A1CB的中位线，即OD∥A1B. 又A1B平面ADC1，OD⊂平面ADC1， 所以A1B∥平面ADC1. 【变式2-1】如图，在四棱锥中，底面，，，，点为棱的中点，在上满足. （1）证明：平面PAD； （2）证明：平面FBD 【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析. 【解析】（1）取PD中点G，连接AG，EG， 则因为点为棱的中点， 所以GE是△PCD的中位线， 所以GE//CD且， 又，且， 所以GE//AB，且GE=AB， 所以四边形ABEG为平行四边形， 所以BE//AG， 又BE平面PAD，平面PAD， 所以BE//平面PAD； （2）连接AC，交BD于点H， 因为AB//CD，且CD=2AB，则， 又PF=2AF，所以PC∥FH， 又FH平面BDF，PC平面BDF， 所以PC//平面BDF. 【变式2-2】如图，是长方体底面对角线与的交点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【解析】如图，连接交于点，连接， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵由正方体的性质得，分别为的中点， ∴， ∴为平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴平面. 【变式2-3】已知正方形，如图，，分别是，的中点，将沿折起，如图所示，求证：平面. 【答案】证明见解析 【解析】因为，分别是，的中点， 所以 又， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，而平面， 所以平面. 考向3 面面平行证明 【例3】如图，三棱锥P­ABC中，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点．证明：平面GFE∥平面PCB. 【答案】证明见解析 【解析】因为E，F，G分别是AB，AC，AP的中点， 所以EFBC，GFCP. 因为EF，GF⊄平面PCB，BC，CP⊂平面PCB. 所以EF平面PCB，GF平面PCB. 又EF∩GF＝F，所以平面GFE平面PCB. 【变式3-1】如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，S是B1