7.1.2全概率公式（基础知识+基本题型）（含解析）--【一堂好课】2021-2022学年高二数学下学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

7.1.2全概率公式 (基础知识+基本题型) 知识点一、相互独立事件 1.定义: 事件(或)是否发生对事件(或)发生的概率没有影响,即,这样的两个事件叫做相互独立事件。 若与是相互独立事件,则与,与,与也相互独立。 2.相互独立事件同时发生的概率公式: 对于事件A和事件B,用表示事件A、B同时发生。 (1)若与是相互独立事件,则; (2)若事件相互独立,那么这个事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积, 即:。 要点诠释 (1)P(AB)=P(A)P(B)使用的前提是A、B为相互独立事件,也就是说,只有相互独立的两个事件同时发生的概率,才等于每个事件发生的概率的积. (2)两个事件、相互独立事件的充要条件是。 知识点二 全概率公式 1.全概率公式的定义 一般地,设是一组两两互斥的事件,,且,,则对任意的事件,有 . 我们称上面的公式为全概率公式(total probability formula).全概率公式是概率论中最基本的公式之一. 2.多个事件的全概率问题 “化整为零”求多事件的全概率问题 (1)如图,P(B)=(Ai)P(B|Ai). (2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i=1,2,…,n),事件B发生的可能性,就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和. 3. 贝叶斯公式 *贝叶斯公式:设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,P(B)>0,有P(Ai|B)==,i=1,2,…,n. 贝叶斯公式的内含 (1)公式P(A1|B)==反映了P(A1B),P(A1),P(B),P(A1|B),P(B|A1)之间的互化关系. (2)P(A1)称为先验概率,P(A1|B)称为后验概率,其反映了事情A1发生的可能在各种可能原因中的比重. 题型一 乘法公式求概率 例 1 在5道试题中有3道代数题和2道几何题,每次从中随机抽出1道题,抽出的题不再放回.求: (1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率; (2)在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率. 分析:如果把“第1次抽到代数题”和“第2次抽到几何题”作为两个事件,那么问题(1)就是积事件的概率,问题(2)就是条件概率.可以先求积事件的概率,再用条件概率公式求条件概率;也可以先求条件概率,再用乘法公式求积事件的概率. 解法1:设“第1次抽到代数题”,“第2次抽到几何题”. (1)“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件AB.从5道试题中每次不放回地随机抽取2道,试验的样本空间包含20个等可能的样本点,即 . 因为,所以 . (2)“在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题”的概率就是事件A发生的条件下,事件B发生的概率,显然.利用条件概率公式,得 . 解法2:在缩小的样本空间A上求.已知第1次抽到代数题,这时还余下4道试题,其中代数题和几何题各2道.因此,事件A发生的条件下,事件B发生的概率为 . 又,利用乘法公式可得 . 从例1可知,求条件概率有两种方法:一种是基于样本空间,先计算和,再利用条件概率公式求;另一种是根据条件概率的直观意义,增加了“A发生”的条件后,样本空间缩小为A,求就是以A为样本空间计算AB的概率. 条件概率只是缩小了样本空间,因此条件概率同样具有概率的性质.设,则 (1); (2)如果B和C是两个互斥事件,则; (3)设和B互为对立事件,则. 例2 已知3张奖券中只有1张有奖,甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗? 分析:要知道中奖概率是否与抽奖次序有关,只要考察甲、乙、丙3名同学的中奖概率是否相等.因为只有1张有奖,所以“乙中奖”等价于“甲没中奖且乙中奖”,“丙中奖”等价于“甲和乙都没中奖”,利用乘法公式可求出乙、丙中奖的概率. 解:用A,B,C分别表示甲、乙、丙中奖的事件,则,. ;;. 因为,所以中奖的概率与抽奖的次序无关. 事实上,在抽奖问题中,无论是放回随机抽取还是不放回随机抽取,中奖的概率都与抽奖的次序无关. 例3 银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时,忘记了密码的最后1位数字.求: (1)任意按最后1位数字,不超过2次就按对的概率; (2)如果记得密码的最后1位是偶数,不超过2次就按对的概率. 分析:最后1位密码“不超过2次就按对”等价于“第1次按对,或者第1次按错但第2次按对”.因此,可以先把复杂事件用简单事件表示,再利用概率的性质求解. 解:(1)设“第次按对密码”,则事件“不超过2次就按对密码”可表示为 . 事件与事件互斥,由概率的加法公式及乘法公式,得 . 因此,任意按最后1位数字,不超过2次就按对的概率