7.1.1条件概率（基础知识+基本题型）（含解析）-【一堂好课】2021-2022学年高二数学下学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

7.1.1条件概率 （基础知识+基本题型） 知识点一 条件概率的定义及计算 一般地，设A，B为两个事件，且，称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．读作A发生的条件下B发生的概率． 拓展：所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，基本事件空间常用大写希腊字母表示． 提示 （1）关于定义：①事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的． ②每一个随机试验都是在一定条件下进行的，而这里所说的条件概率，是当试验结果的一部分信息已知（即在原随机试验的条件下，再加上一定的条件）求另一个事件在此条件下发生的概率． （2）关于计算：已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求，相当于把A发生看作新的基本事件空间来计算发生的概率，即 ． 其中和分别表示事件A和事件AB所包含的基本事件个数，表示基本事件空间中包含的基本事件个数． 知识点二 条件概率的性质 1．条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即． 2．如果B和C是两个互斥事件，那么． 3．． 提示 利用公式求条件概率可使复杂的问题变得较为简单，但应注意这个性质时在“B与C互斥”这一前提下才具备的，这个性质推导如下：因为B与C互斥，所以，且与互斥，所以. 考点一 求简单问题的条件概率 例1 在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题，求： (l）第1次抽到理科题的概率； (2）第1次和第2次都抽到理科题的概率； (3）在第 1 次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率． 【答案】（1）法一：从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为：， 抽取2道题且第1次抽到理科题的事件数为：． 故第1次抽到理科题的概率：. 法二：从5道题中抽取1道的事件数为：， 第1次抽到理科题的事件数为：． 故第1次抽到理科题的概率：. (2）第1次和第2次都抽到理科题的事件数：， 故第1次和第2次都抽到理科题的概率. (3）法一： 因为，， 所以. 法二： 由（ 1 ) ( 2 ）可得，， 在第 1 次抽到理科题的条件下，第 2 次抽到理科题的概率：. 法三： 在第 1 次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率， 等价于在4道题中有2道理科题和2道文科题. 抽到理科题的概率， 所以。 总结：（1）用公式求条件概率时，需先求出的值，再相除． （2）利用缩小基本事件空间的观点计算，在这种观点下，原来的基本事件空间缩小为已知的条件事件A，原来的B缩小为AB，而A中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的可能性相等，从而可以在缩小的基本事件空间上利用古典概型计算概率的公式计算条件概率，即条件概率． 考点二 条件概率的性质及应用 例2 将质地、大小、形状完全相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则第三个盒子中任取一个球．若第二次取出的是红球，则试验成功．求试验成功的概率． 分析：设出基本事件，先求出相应的概率，再利用基本事件表示出“试验成功”这件事，求出其概率． 解：设从第一个盒子中取得标有字母A的球， 从第一个盒子中取得标有字母B的球， 第二次取出的球是红球， 第二次取出的球是白球， 则，， 事件“试验成功”表示为． 又事件与互斥，所以 故试验成功的概率为． 总结：成立的前提是B，C互斥． 考点三 条件概率的实际应用 例3 一种耐高温材料，能承受200℃高温不熔化的概率为0.9，能承受300℃高温不熔化的概率为0.5，现有一种这样的材料，在能承受200℃高温不熔化的情况下，还能承受300℃高温不熔化的概率是多少？ 【思路点拨】 要想求该材料承受300℃高温不熔化的概率，则必须在2130℃高温不熔化的条件下，用条件概率的计算公式求解． 【解析】 设事件A：“该材料承受200℃高温不熔化”，事件B：“该材料承受300℃高温不熔化”，则有 P（A）=0.9，P（B）=0.5，由于，又因为BA，所以A∩B=B，故有 ． 【总结升华】 这是在条件概率计算中经常遇到的一种题型，当事件A和事件B满足关系BA时，利用A∩B=B，可将条件概率计算公式简化为，所以在求解时要注意对所给事件之间的关系进行恰当的判断，发现其包含关系，然后利用相应的公式求解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $