9.2 正弦定理与余弦定理的应用-2021-2022学年高一数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019必修第四册)

第九章 解三角形 9.2 正弦定理与余弦定理的应用 知识梳理 1.测量问题 (1)仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角. (2)方向角 从指定方向线到目标方向线所成的水平角.如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°. 思考：李尧出校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你认为李尧家在学校的哪个方向？提示：东南方向. (3)方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角.如点B的方位角为α. 方位角的取值范围：[0°，360°) . 2.最值范围问题 (1)边或周长 (2)面积 常见考点 考点一 距离与角度测量问题 典例1．西昌市邛泸旅游风景区在邛海举行搜救演练，如图，、是邛海水面上位于东西方向相距公里的两个观测点，现位于点北偏东、点西北方向的点有一艘渔船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距公里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为公里/小时.求： (1)观测点与点处的渔船间的距离； (2)点的救援船到达点需要多长时间？ 【答案】(1)公里 (2)小时 【解析】 【分析】 （1）求出的三个内角，利用正弦定理可求得的长； （2）利用余弦定理求出，结合救援船行驶的速度可求得所需时间. (1) 解：在中，，，则， 所以，， 由正弦定理，所以，（公里）. (2) 解：在中，，，， 由余弦定理可得， 因此，救援船所需时间为（小时）. 变式1-1．如图，甲船A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9海里并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28海里/时的速度航行. (1)求甲船用多少小时能尽快追上乙船； (2)设甲船航行的方向为南偏东，求的正弦值. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）设用小时，甲船能追上乙船，设，，求出，在△ABC中，利用余弦定理即可得出答案； （2）利用正弦定理求得，再根据结合两角差的正弦公式即可得出答案. (1) 解：设用小时，甲船能追上乙船，且在C处相遇， 在△ABC中，，，， 设，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 即甲船用小时能尽快追上乙船； (2) 解：由（1）得：海里，海里， 根据正弦定理，得，∴， ∴. 变式1-2．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路经过三个景点，，.景区管委会又开发了风景优美的景点.经测量景点位于景点的北偏东30°方向8千米处.且位于景点的正北方向，还位于景点的北偏西方向上.已知千米. (1)景区管委会准备由景点向景点修建一条笔直的公路.不考虑其他因素，求出这条公路的长. (2)求景点与景点之间的距离. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）依题意可得，，，利用余弦定理计算可得； （2）在中由正弦定理求出，即可求出，再根据同角三角函数的基本关系求出，再由两角和的正弦公式求出，最后利用正弦定理计算可得； (1) 解：依题意，，，在中由余弦定理可得，即，即，解得或，显然，所以 (2) 解：在中由正弦定理，所以，所以，所以，所以，在中由正弦定理，所以； 变式1-3．如图，位于处的救援中心获悉：在其正东方向相距海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．救援中心立即把消息告知在其南偏西、相距海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线前往处救援． (1)求两点间的距离； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）利用余弦定理，即可求出两点间的距离； （2）利用正弦定理推出的正弦值，利用，即可求出结果． (1) 解：如图所示，在中，， 由余弦定理得， 所以． (2) 解：由正弦定理得． 由知为锐角， 故． 故． 考点二 高度测量问题 典例2．如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，.在点测得塔顶的仰角为50.5°. (1)求与两点间的距离（结果精确到）； (2)求塔高（结果精确到）. 参考数据：取，，. 【答案】(1)324m (2)669m 【解析】 【分析】 （1）求出，在中利用正弦定理进行求解；（2）先在中利用正弦定理求出的长度，进而利用正切值求出塔高. (1) 在中，， 由正弦定理得， 则 (2) 由正弦定理得， 则. 故塔高 变式2-1．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北的方向上，行驶后到达处，并在处测得山顶在西偏北的方向上，且仰角为，求此山的高度. 【答案】 【解析】 【分析】 在中利用正弦定理可求得，根据可求得结果. 【详解】 在中，，，， 由正弦定理得：. 在中，，. 变式2-2．如图，在离地面高400m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC＝60°，求山的高度