9.1.2余弦定理及其应用-2021-2022学年高一数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019必修第四册)

第九章 解三角形 9.1正弦定理与余弦定理 9.1.2余弦定理及其应用 知识梳理 1.余弦定理 （1）三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍. 即a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC. （2）应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题. ①已知三边，求三角. ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. 2.余弦定理的变形 （1）余弦定理的变形： cosA=；cosB=；cosC=. （2）利用余弦定理的变形判定角： 在△ABC中，c2=a2+b2⇔C为直角；c2>a2+b2⇔C为钝角；c2<a2+b2⇔C为锐角. 常见考点 考点一 余弦定理解三角形 典例1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则c等于（       ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由余弦定理求解 【详解】 由余弦定理得，即，解得 故选：A 变式1-1．在中，，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据余弦定理直接求解即可. 【详解】 解：因为中，，，， 所以，由余弦定理得， 即，故. 故选：B 变式1-2．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的周长为（       ） A．9 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【解析】 【分析】 由余弦定理直接求出c，然后可得. 【详解】 由余弦定理得，所以 所以的周长为. 故选：B 变式1-3．在中，若，，，则c=（       ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】D 【解析】 【分析】 利用余弦定理即得. 【详解】 ∵，，， ∴， ∴. 故选：D. 考点二 余弦定理的逆用 典例2．在中，角所对的边分别为，若，则（       ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【解析】 【分析】 化简得，再由余弦定理计算，即可求得答案. 【详解】 由得，， 由余弦定理得， 因为，所以. 故选：C 变式2-1．在中，所对的边分别为，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知等式，结合余弦定理求得，由此可得结果. 【详解】 由得：，即， ，. 故选：B. 变式2-2．在中，角A，，的对边分别是，，，且面积为，若，则角等于(       ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 结合余弦定理和三角形面积公式即可求角C. 【详解】 由题可知，， 由余弦定理可知， ，， ∵，﹒ 故选：B﹒ 变式2-3．已知中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，面积，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 由余弦定理及三角形的面积公式得到，再两边平方，利用同角三角函数的基本关系即可求出． 【详解】 解：由余弦定理且， 所以， ，两边平方得，即，即，解得或（舍去）． 故选：B． 考点三 余弦定理边角互化的应用 典例3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，则b的值为（       ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解析】 【分析】 利用正弦定理、正弦定理化简已知条件，由此求得. 【详解】 依题意，， ， ， 由正弦定理得， 由余弦定理得，或（舍去）. 故选：A 变式3-1．在中，角的对边分别为，，若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由余弦定理的角化边公式化简得出，再由得出. 【详解】 结合余弦定理得 即 即，即 因为三角形中，两边之和大于第三边，所以 即，是等腰三角形，结合，得到． 故选：D． 【点睛】 关键点睛：解决本题的关键在于利用余弦定理的角化边公式得出，进而得出. 变式3-2．的内角的对边分别为.已知，则的形状是（       ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】 首先利用降幂公式化简,再利用余弦定理化简即可. 【详解】 由 再由余弦定理得： 故三角形为直角三角形 故选：A 变式3-3．在中，，则此三角形必是（       ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】 利用余弦定理的变形化角为边即可求解. 【详解】 由， 则， 即， 整理可得， 所以为直角三角形. 故选：B 考点四 余弦定理结合面积公式 典例4．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，M是的中点，，，则的面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 先整理得到，从而求出，再求出，最后求的面积即可. 【详解】 解：在中，M