专题05 平行线问题中数学思想-2021-2022学年人教版七年级下学期数学思想方法汇总

专题05 平行线问题中数学思想 【思维导图】 【典例解析】 【方程思想】 1．若∠A与∠B的两条边分别平行，且∠A的度数比∠B度数的2倍少10°，求∠A的度数. 【答案】10°或°. 【解析】解：设∠B=x°，则∠A=（2x－10）° ∵∠A与∠B的两条边分别平行， ∴∠A=∠B，或∠A+∠B=180° 即x=2x－10或x+2x－10=180 解得：x=10或x= ∴∠A=10°或°. 2．（2022·山东济南期末）如图，，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一个动点P，满足． 如图，QE，QF分别平分∠PEB，∠PFD，且点P在EF左侧． （1）若∠EPF＝100°，则∠EQF的度数为______； （2）猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 130°；（2）∠EPF+2∠EQF＝360°. 【解析】解：（1）过P作AB平行线，由平行线性质知，∠PEA+∠PFC＝∠EPF＝100°， ∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD， ∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°， 故∠DFQ+∠BEQ＝130°＝∠EQF， 故答案为130°； ②∠EPF+2∠EQF＝360°． 理由： QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD， 设：∠BEQ=∠QEP=x，∠QFD=∠PFQ=y， 则∠P=180°－2x+180°－2y =360－2（x+y） 而∠Q=x+y ∴∠EPF+2∠EQF＝360°． 3．（2021·北京期末）对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得∠M+k∠N=360°，则称∠N为∠M的k系补周角．如若∠M=90°，∠N=45°，则∠N为∠M的6系补周角． (1)若∠H=120°，则∠H的4系补周角的度数为　　°； (2)在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE，DE； ①如图1，∠D=60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数； ②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE（其中n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）． 【答案】(1)60；(2)①∠B=75°，②当BG上的动点P为∠CDE的角平分线与BG的交点时，满足∠BPD是∠F的k系补周角，此时k=2n． 【解析】解：（1）设∠H的4系补周角的度数为x°， 120+4x=360， 解得，x=60， 故答案为：60； (2)①过E作EF∥AB， ∴∠B=∠BEF， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD，∠D=60°， ∴∠D=∠DEF=60°， ∵∠B+60°=∠BEF+∠DEF， 即∠B+60°=∠BED， ∵∠B是∠BED的3系补周角， ∴∠BED=360°－3∠B， ∴∠B+60°=360°－3∠B， ∴∠B=75°； ②当BG上的动点P为∠CDE的角平分线与BG的交点时，满足∠BPD是∠F的k系补周角，此时k=2n． 4．（2022·江苏月考）点E在射线DA上，点F、G为射线BC上两个动点，满足∠DBF＝∠DEF，∠BDG＝∠BGD，DG平分∠BDE． （1）如图，当点G在F右侧时，求证：； （2）如图，当点G在BF左侧时，求证：； （3）如图，在（2）的条件下，P为BD延长线上一点，DM平分∠BDG，交BC于点M，DN平分∠PDM，交EF于点N，连接NG，若DG⊥NG，，求∠B的度数． 【答案】（1）（2）见解析；（3）60°. 【解析】解：（1）∵DG平分∠BDE， ∴∠BDG＝∠ADG， 又∵∠BDG＝∠BGD， ∴∠ADG＝∠DGB， ∴AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFG， ∵∠DBF＝∠DEF， ∴∠DBF＝∠EFG， ∴BD∥EF； （2）过点G作GK∥BD交AD于K， 同理，BD∥EF， ∴KG∥EF， ∴∠BDG＝∠DGK，∠GEF＝∠KGE， ∴∠DGE＝∠DGK＋∠KGE， ∴∠DGE＝∠BDG＋∠FEG； （3）设∠BDM=∠MDG=x，∠BDG=∠EDG=∠DGB=2x，∠PDE=180－∠BDE=180－4x，∠PDM=180－x， ∵DN平分∠PDM， ∴∠PDN=∠MDN=∠PDM=90－， ∴∠EDN=∠PDN－∠PDE=90－－（180－4x）=3.5x－90，∠GDN=90－1.5x， ∵DG⊥NG， ∴∠DGN=90°， ∴∠DNG=90－∠GDN=1.5x， ∵DE∥BF， ∴∠B=∠PDE=180－4x， ∵∠B－∠DNG=∠EDN， ∴180－4x－1.5x=3.5x－90， ∴x=30， ∴∠B=60°． 【整体思想】 5．（2022