专题17 复数复杂运算的4种考法-【专题重点突破】2021-2022学年高一数学下学期核心考点精讲精练(人教B版2019必修第三、四册)

专题17 复数复杂运算的4种考法 一、待定系数法求复数 在解决复数问题时，有时候无法直接从题目所给方程中分离出复数z， 此时可用待定系数法设出，再将去带入方程，解出 二、复数乘方的周期性 1、复数的乘方：相同复数的乘积，根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立．即对复数z1、z2、z和自然数m、n有： zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝z·z，z0＝1；z－m＝(z≠0)． 2、虚数单位i的乘方 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1， 从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i. 三、复数方程的解法 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法： ①当时， ②当时， （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为， 将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解。 四、求复数模长的最值问题 1、向量的模叫做复数的模或绝对值，记作或， 即，其中、 表示复平面内的点到原点的距离； 2、的几何意义：复平面中点与点间的距离，如右图所示。 示例：表示：点到点的距离 小结：复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式， 若，则表示复平面内点与点之间的距离， 则表示以为圆心，以r为半径的圆上的点. 3、圆外一点到圆上一点的距离最值问题 如图所示，点在圆上运动，在圆上找一点使得最小（大） 如图，当为连线与圆交点时，最小，最小为； 当在延长线与圆交点时，最大，最大为 考向1 待定系数法求复数 【例1】已知为虚数单位，若复数满足，则在复平面内对应的点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设， 则由，得， 即， 所以，解得， 所以，所以在复平面内对应的点的坐标为，故选：C 【变式1-1】设复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则， 因为，可得，即， 所以，解得， 所以，所以的虚部为.故选：C. 【变式1-2】已知（i为虚数单位，为z的共轭复数），则复数在复平面内对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】由题意，设复数，则， 因为，即， 可得，解得，所以， 则复数在复平面内对应点的坐标为， 其坐标位于第二象限.故选：B. 【变式1-3】已知复数z的共轭复数是，若，则（ ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】设复数，，则， 因，即， 即，则，解得， 因此，， 所以.故选：B 考向2 复数的高次幂计算 【例2】复数在复平面内对应点的坐标为___________. 【答案】 【解析】因为，而， 所以，， 故对应的点的坐标为. 【变式2-1】复数＋2020的虚部为________． 【答案】1 【解析】＋2020＝＋＝i－1. 【变式2-2】已知i是虚数单位，则（）2020＝（ ） A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i 【答案】A 【解答】∵， ∴（）2020＝（﹣i）2020＝i2020＝i4×505＝1． 【变式2-3】已知，则复数的虚部为_________． 【答案】1 【解析】，的虚部为. 考向3 解复数方程 【例3】已知关于x的方程有实数根 （1）求实数m的值； （2）求方程的实根x的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）设方程的实根为，则， 即， 所以，解得， 所以实数m的值为， （2）结合（1）. 【变式3-1】若复数范围内将分解因式，所得的结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方程的判别式， 所以方程 ，有两个互为共轭复数的复数根， 设是方程 的两个复数根， 则，解得 ，. 所以方程的两个复数根为 . 故复数范围内将分解因式得 .故选：C 【变式3-2】复数满足，则（ ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】∵复数满足， ∴， ∴.故选：B. 【变式3-3】若关于x的实系数一元二次方程的两个根分别是和，则这个一