专题16 复数概念与几何意义的5种基本考法-【专题重点突破】2021-2022学年高一数学下学期核心考点精讲精练(人教B版2019必修第三、四册)

专题16 复数概念与几何意义的5种基本考法 一、复数的基本概念与分类 1、定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，实部是，虚部是. 2、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1.我们把i叫作虚数单位． 3、表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)． 4、复数集 ①定义：全体复数所成的集合． ②表示：通常用大写字母C表示． 5、复数的分类 对于复数a＋bi， （1）当且仅当b＝0时，它是实数； （2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； （3）当b≠0时，叫做虚数； （4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 这样，复数z＝a＋bi可以分类如下： 二、复数的几何意义 1、复平面 当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴． 2、复数的几何意义 （1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的． （2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的． 三、复数相等 在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)， 我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d. 四、共轭复数 如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数． 复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi. 示例：z＝2＋3i的共轭复数是＝2－3i. 五、复数的模长 1、定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值 2、记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. 3、公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 考向1 复数的实部与虚部 【例1】若复数为纯虚数，则实数x的值为（ ） A． B．10 C．100 D．或10 【答案】A 【解析】为纯虚数，同时 ，故选：A 【变式1-1】已知复数，则z的虚部为（ ） A．﹣i B．﹣1 C．i D．1 【答案】B 【解析】∵，∴复数z的虚部为﹣1.故选：B. 【变式1-2】若，复数是纯虚数，则（ ） A．且 B． C． D．或 【答案】B 【解析】复数是纯虚数， 则，解得：.故选：B 【变式1-3】已知复数（是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意可得，解得.故选：A. 考向2 复数的几何意义 【例2】当时，复数在复平面上对应的点位于（ ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】∵， ∴，， ∴复数在复平面上对应的点位于第四象限．故选：D. 【变式2-1】已知为虚数单位，若复数，则在复平面内表示的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】表示的点是，位于第四象限．故选：D 【变式2-2】复数，则z在复平面内对应的点不可能在的象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】当对应点在复平面第三象限时，，此时不存在.故选：C 【变式2-3】在复平面内，复数对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】，其对应的坐标为，在第四象限.故选：D. 考向3 复数相等的充要条件 【例3】复数与复数相等，则实数的值为（ ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【解析】因为复数与复数相等， 所以，解得．故选：C 【变式3-1】若，其中a，，是虚数单位，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 所以，得.故选：B 【变式3-2】已知（其中为虚数单位），则（ ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【解析】 由，可得，解之得 则，故选：D 【变式3-3】若，则实数（ ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【解析】由题意，解得．故选：D． 考向4 共轭复数 【例4】复数z，则z的共轭复数在复平面内对应第_____象限. 【答案】二 【解析】zcosθ﹣isinθ，，