第二章 抛物线及其标准方程1-2022选修2-1数学总复习【格邦高中】人教A版

高中数学 选修2-1 曲线方程 测试内容：抛物线方程 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 1．抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程 题型一：抛物线的标准方程 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离．(　　) (2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定．(　　) (3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)抛物线y2＝4x的焦点坐标为________________；准线方程为__________________． (2)若抛物线的方程为x＝2ay2(a>0)，则焦点到准线的距离p＝________. (3)焦点坐标为(0,2)的抛物线的标准方程为___________________________． (4)(教材改编P67T3(2))抛物线y2＝4x上的点P到焦点的距离是5，则P点坐标是________． 答案　(1)(1,0)　x＝－1　(2)　(3)x2＝8y (4)(4，±4) 解析　(4)设P点的坐标为(x0，y0)， 由题意得x0＋1＝5，x0＝4， ∴y＝16，y0＝±4，∴P点坐标为(4，±4)． 3.求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)过点(－3,2)； (2)焦点在直线x－2y－4＝0上． [解]　(1)设抛物线方程为y2＝－2px或x2＝2py(p>0)，则将点(－3,2)代入方程得2p＝或2p＝，∴所求的抛物线方程为y2＝－x或x2＝y. (2)当焦点在y轴上时，令x＝0，由方程x－2y－4＝0得y＝－2，∴抛物线的焦点为F(0，－2)，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则由＝2得2p＝8，∴所求抛物线方程为x2＝－8y；当焦点在x轴上时，同理得y2＝16x. [条件探究]　如果把例1(1)中的“点(－3,2)”改为“点(1,2)”如何解答？ 解　解法一：点(1,2)在第一象限，要分两种情形：当抛物线的焦点在x轴上时，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则22＝2p·1，解得p＝2，抛物线方程为y2＝4x；当抛物线的焦点在y轴上时，设抛物线的方程为x2＝2py(p>0)，则12＝2p·2，解得p＝，抛物线方程为x2＝y. 解法二：设所求抛物线的标准方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，将点(1,2)代入，得m＝4，n＝.故所求的方程为y2＝4x或x2＝y. 拓展提升 求抛物线标准方程的两种方法 (1)当焦点位置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，由已知条件建立关于参数p的方程，求出p的值，进而写出抛物线的标准方程． (2)当焦点位置不确定时，可设抛物线的方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，利用已知条件求出m，n的值，进而写出抛物线的标准方程． 4.根据下列条件，求抛物线的标准方程： (1)焦点到准线的距离是4； (2)准线方程为y＝. 解　(1)p＝4，抛物线的标准方程有四种形式：y2＝8x，y2＝－8x，x2＝8y，x2＝－8y. (2)因为抛物线的准线交y轴于正半轴，且＝，则p＝，所以所求抛物线的标准方程为x2＝－y. 题型二：抛物线的定义及其应用 5.(1)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　) A. B．1 C. D. (2)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 (3)已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时的P点坐标． [解析]　(1)∵y2＝x的准线方程为l：x＝－， 由题意得|AF|，|BF|分别为A，B到准线l的距离d1，d2(如图所示)． 则线段AB的中点到准线的距离d＝＝， ∴线段AB的中点到y轴的距离为d＝－＝.故选C. (2)由题意知抛物线的准线为x＝－.因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1，故选A. (3)如图，作PN⊥l于N(l为准线)，作AB⊥l于B，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PN|≥|AB|， 当且仅当P为AB与抛物线的交点时，取等号． ∴(|PA|＋|PF|)min＝|AB| ＝3＋＝. 此时yP＝2，代入抛物线方程得x