第三章 直线的方向向量及平面的法向量-2022选修2-1数学总复习【格邦高中】人教A版

高中数学 选修2-1 空间向量与立体几何 测试内容：直线的方向向量及平面的法向量 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 1．用向量表示直线的位置 条件 直线l上一点A 表示直线l方向的向量a(即直线l的方向向量) 形式 在直线l上取 ＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t使得＝t 作用 定位置 点A和向量a可以确定直线的位置 定点 可以具体表示出l上的任意一点 2．用向量表示平面的位置 (1)通过平面α上的一个定点和两个向量来确定 条件 平面α内两条相交直线的方向向量a，b和交点O 形式 对于平面α上任意一点P，存在有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb (2)通过平面α上的一个定点和法向量来确定 平面的法向量 直线l⊥α，直线l的方向向量，叫做平面α的法向量 确定平面位置 过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的 3．空间中平行、垂直关系的向量表示 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则 线线平行 l∥m⇔a∥b⇔a＝kb(k∈R) 线面平行 l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0 面面平行 α∥β⇔u∥v⇔u＝kv(k∈R) 线线垂直 l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0 线面垂直 l⊥α⇔a∥u⇔a＝λu(λ∈R) 面面垂直 α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0 题型一：点的位置向量与直线的方向向量 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线上任意两个不同的点A，B表示的向量都可作为该直线的方向向量．(　　) (2)若向量n1，n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．(　　) (3)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．(　　) (4)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若点A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量的坐标可以是________． (2)已知a＝(2，－4，－3)，b＝(1，－2，－4)是平面α内的两个不共线向量．如果n＝(1，m，n)是α的一个法向量，那么m＝________，n＝________. (3)(教材改编P104T2)设平面α的法向量为(1,3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k)，若α∥β，则k＝________. (4)已知直线l1，l2的方向向量分别是v1＝(1,2，－2)，v2＝(－3，－6,6)，则直线l1，l2的位置关系为________． 答案　(1)(2,4,6)　(2)　0　(3)4　(4)平行 3.(1)若点A，B在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A. B. C. D. (2)已知O为坐标原点，四面体OABC的顶点A(0,3,5)，B(2,2,0)，C(0,5,0)，直线BD∥CA，并且与坐标平面xOz相交于点D，求点D的坐标． [解析]　(1)＝－＝(1,2,3)，＝(1,2,3)＝，又因为与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量．故选A. (2)由题意可设点D的坐标为(x,0，z)， 则＝(x－2，－2，z)，＝(0，－2,5)． ∵BD∥CA，∴∴ ∴点D的坐标为(2,0,5)． [答案]　(1)A　(2)见解析 拓展提升 求点的坐标：可设出对应点的坐标，再利用点与向量的关系，写出对应向量的坐标，利用两向量平行的充要条件解题． 4.已知点A(2,4,0)，B(1,3,3)，在直线AB上有一点Q，使得＝－2，求点Q的坐标． 解　由题设＝－2， 设Q(x，y，z)，则(x－2，y－4，z)＝－2(1－x,3－y,3－z)， ∴解得 题型二：求平面的法向量 5.如图，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，求平面SCD与平面SBA的法向量． [解]　∵AD，AB，AS是三条两两垂直的线段，∴以A为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立坐标系， 则A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，＝是平面SAB的法向量， 设平面SCD的法向量n＝(1，λ，u)， 则n·＝(1，λ，u)·＝＋λ＝0， ∴λ＝－. n·＝(1，λ，u)·＝－＋u＝0， ∴u＝，∴n＝. 综上，平面SCD的一个方向向量为n＝，平面SBA的一个法向量为＝. 拓展提升 设直线l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔u∥v⇔u＝kv⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2，其中k∈R， 平面的