第三章 利用向量解决平行、垂直问题-2022选修2-1数学总复习【格邦高中】人教A版

高中数学 选修2-1 空间向量与立体几何 测试内容：利用向量解决平行、垂直问题 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 1．用向量方法证明空间中的平行关系 (1)证明线线平行 设直线l，m的方向向量分别是a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)． (2)证明线面平行 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)， 平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)， 则l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. (3)证明面面平行 ①设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔u＝λv⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)． ②由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． 2．用向量方法证明空间中的垂直关系 (1)证明线线垂直 设直线l1的方向向量u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量u2＝(a2，b2，c2)，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. (2)证明线面垂直 设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔u∥v⇔u＝λv(λ∈R)⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)． (3)证明面面垂直 若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. 题型一：利用空间向量解决平行问题 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两直线方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．(　　) (2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.(　　) (3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若直线l1的方向向量为u1＝(1,3,2)，直线l2上有两点A(1,0,1)，B(2，－1,2)，则两直线的位置关系是________． (2)若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则直线l与平面α的位置关系为________． (3)已知两平面α，β的法向量分别为u1＝(1,0,1)，u2＝(0,2,0)，则平面α，β的位置关系为________． (4)若平面α，β的法向量分别为(－1,2,4)，(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为________． 答案　(1)垂直　(2)垂直　(3)垂直　(4)－10 3.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证： (1)FC1∥平面ADE； (2)平面ADE∥平面B1C1F. [证明]　(1)如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz， 则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0，0,1)，B1(2,2,2)， 所以＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0,2,1)． 设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1⊥，n1⊥， 即得 令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2)． 因为·n1＝－2＋2＝0，所以⊥n1. 又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE. (2)因为＝(2,0,0)， 设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量． 由n2⊥，n2⊥，得 得 令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)， 因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F. 拓展提升 利用向量法证明平行问题的两种途径 (1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系； (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明． 4.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点．求证：PQ∥RS. 证明　证法一：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. 则P(3,0,1)，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4,1)， ＝(－3,2,1)，＝(－3,2,1)， ∴＝，∴∥，即PQ∥RS. 证法二：＝＋＝－＋， ＝＋＝＋－， ∴＝，∴∥，即RS∥PQ. 题型二：利用空间向量解决垂直问题 5.如图