第三章 利用空间向量求空间角、空间距离问题-2022选修2-1数学总复习【格邦高中】人教A版

高中数学 选修2-1 空间向量与立体几何 测试内容：利用空间向量求空间角、空间距离问题 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 1．空间角及向量求法 角的分类 向量求法 范围 异面直线 所成的角 设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为a，b，则cosθ＝|cos〈a，b〉|＝ 直线与平面 所成的角 设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈a，n〉|＝ 二面角 设二面角α－l－β的平面角为θ，平面α，β的法向量为n1，n2，则|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|＝ [0，π] 2．空间距离的向量求法 分类 向量求法 两点距 设A，B为空间中任意两点，则d＝|| 点面距 设平面α的法向量为n，B∉α，A∈α，则B点到平面α的距离d＝ 题型一：利用空间向量求线线角 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．(　　) (2)直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离．(　　) (3)若平面α∥β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为________． (2)(教材改编P111A组T11)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中点，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成的角为________． (3)已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在平面α内，则点P(－2,1,4)到平面α的距离为________． 答案　(1)45°或135°　(2)　(3) 解析　(2)建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体棱长为2 ，则O(1,1,0)，P(2，x,2)，B(2,2,0)，M(0,2,1)， 则＝(1，x－1,2)，＝(－2,0,1)． 所以·＝0，所以直线BM与OP所成角为. 3.如图1，已知两个正四棱锥P－ABCD与Q－ABCD的高分别为1和2，AB＝4.求异面直线AQ与PB所成角的余弦值． [解]　由题设知，ABCD是正方形，连接AC，BD，交于点O，则AC⊥BD.连接PQ，则PQ过点O. 由正四棱锥的性质知PQ⊥平面ABCD，故以O为坐标原点，以直线CA，DB，QP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图2)，则P(0,0,1)，A(2，0,0)，Q(0,0，－2)，B(0,2，0)， ∴＝(－2，0，－2)，＝(0,2，－1)． 于是cos〈，〉＝＝， ∴异面直线AQ与PB所成角的余弦值为. 拓展提升 两异面直线所成角的求法 (1)平移法：即通过平移其中一条(也可两条同时平移)，使它们转化为两条相交直线，然后通过解三角形获解． (2)取定基底法：在一些不适合建立坐标系的题型中，我们经常采用取定基底的方法，这是小技巧．在由公式cos〈a，b〉＝求向量a、b的夹角时，关键是求出a·b及|a|与|b|，一般是把a、b用一组基底表示出来，再求有关的量． (3)用坐标法求异面直线的夹角的方法 ①建立恰当的空间直角坐标系； ②找到两条异面直线的方向向量的坐标形式； ③利用向量的夹角公式计算两直线的方向向量的夹角； ④结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角． 4.如图，在三棱锥V－ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝θ.当θ＝时，求异面直线AC与VD所成角的余弦值． 解　由于AC＝BC＝2，D是AB的中点，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)． 当θ＝时，在Rt△VCD中，CD＝，故有V(0,0，)． 所以＝(－2,0,0)，＝(1,1，－)． 所以cos〈，〉＝＝＝－. 所以异面直线AC与VD所成角的余弦值为. 题型二：利用空间向量求线面角 5.正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角． [解]　建立如下图 所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0, a)，C1， 取A1B1的中点M， 则M，连接AM，MC1，有＝， ＝(0，a,0)，＝(0,0，a)． ∴·＝0，·＝0， ∴⊥，⊥， 即MC1⊥AB，MC1⊥AA1，又AB∩AA1＝A， ∴MC1⊥平面A