第三章 空间向量运算的坐标表示-2022选修2-1数学总复习【格邦高中】人教A版

高中数学 选修2-1 空间向量与立体几何 测试内容：空间向量运算的坐标表示 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 1．空间向量运算的坐标表示 运算 坐标表示a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 2．空间向量的平行与垂直的坐标表示 平行或垂直 平行或垂直条件的坐标表示 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 平行(a∥b) a∥b⇔a＝λb⇔(λ∈R且b≠0) 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 3．空间向量的长度公式及夹角的坐标表示 (1)空间向量长度公式的坐标表示 ①若a＝(a1，a2，a3)，则|a|＝ ＝ ＝ ，即|a|＝ .②空间两点间的距离公式 已知A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， a.＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)． b．dAB＝||＝ . (2)向量的夹角坐标公式 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则cos〈a，b〉＝＝. 题型一：空间向量的坐标运算 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于空间任意两个向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，若a与b共线，则＝＝.(　　) (2)空间向量a＝(1,1,1)为单位向量．(　　) (3)若向量＝(x1，y1，z1)，则点B的坐标为(x1，y1，z1)．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)× 2．做一做 (1)(教材改编P97T1)已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则下列结论正确的是(　　) A．a＋b＝(10，－5，－6) B．a－b＝(2，－1，－6) C．a·b＝10 D．|a|＝6 (2)在空间直角坐标系中，已知点A的坐标为(1,2,3)，点B的坐标为(4,5,6)，则＝________. (3)若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，如果a与b为共线向量，则x＝________，y＝________. (4)已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，则cos〈a，b〉＝________. 答案　(1)D　(2)(3,3,3)　(3)　－　(4) 3.已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求a＋b，a－b，a·b，(2a)·(－b)，(a＋b)·(a－b)． [解]　a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)； a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2,0，－6)； a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7； (2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14； (a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8. 拓展提升 空间向量的加法、减法、数量积及数乘运算的方法 1．根据已知向量的坐标，代入空间向量的加、减、数量积和数乘运算的坐标表示公式进行计算． 2．熟练应用有关的公式： (1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； (2)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2； (3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. 3．空间向量的坐标运算法则和平面向量的坐标运算法则类似，可类比记忆．计算(2a)·(－b)，既可以利用运算律把它化成－2(a·b)，也可先求出2a，－b后，再求数量积． 4.已知a＝(2，－1,3)，b＝(0，－1,2)，求： (1)a＋b； (2)2a－3b； (3)a·b； (4)(a＋b)·(a－b)． 解　(1)a＋b＝(2，－1, 3)＋(0，－1,2)＝(2＋0，－1－1，3＋2)＝(2，－2,5)． (2)2a－3b＝(4，－2,6)－(0，－3,6)＝(4,1,0)． (3)a·b＝(2，－1,3)·(0，－1,2)＝2×0＋(－1)×(－1)＋3×2＝7. (4)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝4＋1＋9－(0＋1＋4)＝9. 题型二：利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题 5.如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，过点B作BM⊥AC1于点M，求点M的坐标． [解]　由题意，知A(a,0,0)，B(a，a,0)，C1(0，a，a)，设M(x，y，