专题18.3 直角三角形斜边上的中线（重点题专项讲练）-2021-2022学年八年级数学下册从重点到压轴（人教版）

专题18.3 直角三角形斜边上的中线 【典例1】如图，已知△ABC的高BD、CE相交于点O，M、N分别是BC、AO的中点，求证：MN垂直平分DE． 【思路点拨】 连接EN、DN、EM、DM，由BD与CE为三角形ABC的两条高，可得∠AEC＝∠ADB＝∠BEC＝∠BDC＝90°，根据M，N为BC，AO的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半可得EN＝DN，EM＝DM，根据线段垂直平分线的逆定理得到M、N在线段DE的垂直平分线上，得证． 【解题过程】 证明：连接EN、DN、EM、DM， ∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠AEC＝∠ADB＝∠BEC＝∠BDC＝90°， ∵M、N是BC、AO的中点， ∴， ∴EN＝DN，EM＝DM， ∴M、N在线段DE的垂直平分线上， ∴MN垂直平分DE． 1．（2022•天河区一模）如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 根据勾股定理列式求出AB、BC、AC，再利用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【解题过程】 解：根据勾股定理，AB， BC2， AC3， ∵AC2+BC2＝AB2＝26， ∴△ABC是直角三角形， ∵点D为AB的中点， ∴CDAB． 故选：B． 2．（2021•宁波模拟）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD＝CE，已知∠A＝38°，则∠BFC的度数是（　　） A．111° B．110° C．109° D．108° 【思路点拨】 连接DE，根据直角三角形斜边上的中线及余角的定义∠ADE＝∠A＝38°，∠ACD＝52°，可得∠DBE＝∠DEB＝19°，进而可求解∠BCD，∠CBE的度数，再利用三角形的内角和定理可求解． 【解题过程】 解：连接DE， ∵CD是AB边上的高， ∴∠ADC＝90°， ∵BE是AC边上的中线，∠A＝38°， ∴DE＝AE＝CE＝BD，∠ACD＝90°﹣38°＝52°， ∴∠ADE＝∠A＝38°， ∴∠DBE＝∠DEB＝19°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣38°＝52°，∠BCD＝90°﹣52°＝38°， ∴∠CBE＝52°﹣19°＝33°， ∴∠BFC＝180°﹣33°﹣38°＝109°． 故选：C． 3．（2020秋•宁波期末）如图，以AB为斜边的Rt△ABC和Rt△ABD位于直线AB的同侧，连接CD，若∠BAC+∠ABD＝135°，AB＝6，则CD的长为（　　） A．3 B．4 C．3 D．3 【思路点拨】 取AB的中点H，连接CH、DH，根据直角三角形的性质得到CH＝DH＝3，∠AHC＝180°﹣2∠BAC，∠BHD＝180°﹣2∠ABD，进而出去∠CHD＝90°，根据等腰直角三角形的性质计算，得到答案． 【解题过程】 解：取AB的中点H，连接CH、DH， 在Rt△ABC中，点H是AB的中点， ∴CHAB＝AH＝3， ∴∠HCA＝∠BAC， ∴∠AHC＝180°﹣2∠BAC， 同理可得，DH＝3，∠BHD＝180°﹣2∠ABD， ∵∠BAC+∠ABD＝135°， ∴∠CHD＝180°﹣∠AHC﹣∠BHD＝180°﹣（180°﹣2∠BAC）﹣（180°﹣2∠ABD）＝90°， ∴CDCH＝3， 故选：C． 4．（2022春•九龙坡区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝45°，E是BD的中点，BD＝8，则△AEC的面积为（　　） A． B．16 C．8 D． 【思路点拨】 由直角三角形斜边上中线的性质可求E＝CE＝4，利用三角形外角的性质结合等腰三角形的性质可求解∠AEC＝90°，再利用三角形的面积公式计算可求解． 【解题过程】 解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，E是BD的中点，BD＝8， ∴AE＝CEBD＝4， ∴∠ABE＝∠BAE，∠CBE＝∠BCE， ∵∠AED＝∠ABE+∠BAE＝2∠ABE，∠CED＝∠CBE+∠BCE＝2∠CBE， ∴∠AEC＝2∠ABE+2∠CBE＝2∠ABC， ∵∠ABC＝45°， ∴∠AEC＝90°， ∴S△ACEAE•CE4÷4＝8． 故选：C． 5．（2021秋•上城区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB边上的中点，连接CD，延长BC至点E，使得CE＝AD，连接DE，过点C作CM⊥DE于点M，其中BC＝6，AD＝5，则S△ABC：S△MCE等于（　　） A．11：1 B．44：3 C．24：5 D．44：5 【思路点拨】 根据直角三角形的性质得到AB＝10，根据勾股定理得到AC8，CD＝AD＝BDAB＝5，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解题过程】 解：∵点