18.2.4 菱形的判定-【双基训练】2021-2022学年八年级数学下学期同步精品课后练习 (人教版)

18.2.4 菱形的判定 基础对点练 知识点1 一组邻边相等的平行四边形是菱形 1.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N，若∠BAD=∠BCD，AM=AN． 求证：四边形ABCD是菱形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 首先证明，可得四边形是平行四边形，然后再证明≌可得，再根据菱形的判定定理可得结论． 【详解】 证明：∵AD∥BC， ∴, ∵∠BAD=∠BCD， ∴∠B=∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AM⊥BC，AN⊥DC， ∴ 在△ABM和△ADN中， ∴△ABM≌△ADN(AAS)， ∴AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形. 【点睛】 考查菱形的判定，掌握判定方法是解题的关键. 2.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AB、CD上，AE=CF ，且DF=BF； 求证:四边形DEBF为菱形． 【答案】证明见解析 【解析】 【详解】 分析：已知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得CD∥AB，且CD=AB，又因CF=AE，可得DF=BE，根据一组对标平行且相等的四边形为平行四边形可得四边形DEBF是平行四边形，由DF=BF，根据一组邻边相等的平行四边形为菱形，即可判定平行四边形DEBF是菱形. 详解： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，且CD=AB， 又CF=AE， ∴CD-CF=AB-AE， 即DF=BE， 又DF∥BE， ∴四边形DEBF是平行四边形， 又DF=BF， ∴平行四边形DEBF是菱形. 点睛：本题主要考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定，证得四边形DEBF是平行四边形是解题的关键． 3.如图，在中，，分别是，的中点，，延长到，使得，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】 （1）证出，，则四边形BCFE是平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明； （2）证是等边三角形，得，作于M，由勾股定理求出，由菱形面积公式即可得出答案． 【详解】 证明：，分别是，的中点， 是的中位线， 且， 又， ，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． 解：作于， 由得四边形为菱形， ∴,， ∴是等边三角形， ∴， ∴由勾股定理得， ∴四边形的面积． 【点睛】 本题考查菱形的判定和性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定与性质和等边三角形的判定与性质 知识点2对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4.下列命题中正确的是（ ） A．对角线相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【详解】 试题解析：对角线互相垂直平分的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 故选D. 点睛：菱形的判定方法有：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 四条边都相等的四边形是菱形. 5.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AC⊥BD，且AC平分BD，若添加一个条件_____，则四边形ABCD为菱形． 【答案】OA＝OC 【解析】 【分析】 添加条件OA＝OC，先证四边形ABCD是平行四边形，再由AC⊥BD，即可得出平行四边形ABCD是菱形． 【详解】 .解：添加一个条件OA＝OC，则四边形ABCD为菱形， 理由如下： ∵AC平分BD，OA＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形， 故答案为：OA＝OC． 【点睛】 此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的判定，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 6.如图，在四边型ABCD中，AB∥DC，过对角线AC的中点O作，分别交边AB,CD于点E,F，连接CE，AF. 求证：四边形AECF是菱形； 【答案】见解析； 【解析】 【分析】 运用“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”判定，已知EF⊥AC，AO=OC，只需要证明OE=OF即可，可用全等三角形得出； 【详解】 证明： ∵AB∥CD ∴∠DCA=∠CAB, ∠CFE=∠FEA, ∵AO=OC ∴∆FOC≌∆EOA                                                ∴OF=OE ∴四边形是平行四边形                            ∵ ∴四边形是菱形                                      知识点3 四边相等的四边形是菱形 7.如图，在∠MON的两边