18.2.2 矩形的判定-【双基训练】2021-2022学年八年级数学下学期同步精品课后练习 (人教版)

18.2.2矩形的判定 基础对点练 知识点1 有一个角是直角的平行四边形是矩形 1.如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（　　） A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90° D．∠1＝∠2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据矩形的判定定理（①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形）逐一判断即可． 【详解】 A、根据AB＝BC和平行四边形ABCD不能得出四边形ABCD是矩形，故本选项错误 B、∵四边形ABCD是平行四边形 ∴当AC⊥BD时四边形ABCD是菱形，故本选项错误 C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD ∴平行四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误 D、∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC ∴∠2＝∠ACB ∵∠1＝∠2 ∴∠1＝∠ACB ∴AB＝BC ∴四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误 故选：C 【点睛】 本题考查矩形的判定，解题的关键是掌握矩形的判定方法. 2.如图，在Rt△ABC中，，EG∥BC，FG∥CA.求证：四边形EGFC是矩形. 【答案】见解析 【解析】 证明：∵EG∥BC，FG∥CA ∴四边形EGFC是平行四边形 ∵ ∴四边形EGFC是矩形 知识点2 对角线相等的平行四边形是矩形 3.在ABCD中，AC，BD是对角线，如果添加一个条件，即可推出ABCD是矩形，那么这个条件是（ ） A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD 【答案】B 【解析】 【详解】 解：根据对角线相等的平行四边形是矩形的判定可知： 添加条件AC=BD，即可推出ABCD是矩形. 故选：B. 4.（2021年山东省聊城市莘县中考数学三模试卷）如图，△ABC中，AB＝AC，点D是AC的中点，AE∥BC，点E、D、F在同一条直线上，且EF∥AB．求证：四边形AECF是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】 根据中点定义求出DA＝DC，根据两直线平行，内错角相等可得∠AED＝∠CFD，然后利用“角角边”证明△ADE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝CF，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形AECF是平行四边形，再判断出四边形ABFE是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得AB＝EF，然后求出AC＝EF，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可． 【详解】 证明：∵点D是AC的中点， ∴DA＝DC， ∵AE∥BC， ∴∠AED＝∠CFD， 在△ADE和△CDF中，， ∴△ADE≌△CDF（AAS）， ∴AE＝CF， 又∵AE∥BC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AE∥BC，EF∥AB， ∴四边形ABFE是平行四边形， ∴AB＝EF， ∵AB＝AC， ∴AC＝EF， ∴四边形AECF是矩形 【点睛】 本题考查矩形的判定,掌握矩形的判定方法是解决本题的关键. 知识点3 有三个角是直角的四边形是矩形 5.点D是等腰Rt△ABC斜边BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BC＝，则四边形AEDF的周长是(　　) A．1 B．2 C．3 D．2 【答案】B 【解析】 【详解】 解：如图，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC=AB=AC，∠B=∠C=45°，∵BC=，∴AB=AC=1．∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∠B=∠C=45°，∴BE=ED，DF=FC，∴四边形AEDF的周长=AE+ED+DF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC=1+1=2．故选B． 点睛：充分利用等腰直角三角形的性质是解答本题的关键． 6.已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE，DF分别是△ADC，△BDC的角平分线．求证：四边形DECF是矩形． 【答案】证明见解析. 【解析】 证明：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点 ∴ ∵DE，DF分别是△ADC，△BDC的角平分线 ∴， ∴ ∴四边形DECF是矩形． 7.如图▱ABCD，四个内角的平分线相交于E、F、G、H四个点； 求证：四边形EFGH是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】 根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得出∠AGB=90°，∠DEC=90°，∠AHD=90°=∠EHG，进而判定四边形EFGH是矩形． 【详解】 解：∵GA平分∠BAD，GB平分∠ABC， ∴∠GAB=∠BAD，∠GBA=∠ABC， ∵▱ABCD中，∠DAB+∠ABC=180°， ∴∠GAB+∠GBA=（∠DAB+∠ABC）=90°， 即∠AGB=90°， 同理可得，∠DEC=90°，∠AHD=90°=∠EHG， ∴四边形EFGH是矩形． 【点睛】 本题考查了矩形