2.4抛物线-讲义-2021-2022学年高中数学沪教版（2020）选择性必修第一册

抛物线 （一）抛物线的定义与几何性质 1、定义：平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫抛物线， 2、抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 图形 焦点 准线 范围 对称轴 轴 轴 轴 轴 顶点 （0，0） （0，0） （0，0） （0，0） 焦点 【例1】（1）已知动点到直线的距离比它到点的距离大1,求动点M的轨迹E的方程； 【难度】★★★ 【答案】； 【解析】由已知得动点到直线的距离与到点的距离相等， ∴动点的轨迹为抛物线，设， ∵，动点的轨迹的方程为． （2）动圆P与定圆外切，且与直线相切，求动圆圆心P的轨迹方程. 【难度】★★★ 【答案】. 【解析】如图，设动圆圆心，过点P作于点D， 作直线，过点P作于点，连接. 设动圆P的半径为R，由题知圆A的半径为1. ∵圆P与圆A外切，∴. 又∵圆P与直线相切，∴. ∵，即动点P到定点A与到定直线的距离相等， ∴点P的轨迹是以A为焦点，以为准线的抛物线. 设抛物线的方程为，可知， ∴所求动圆圆心P的轨迹方程为. 例2、（1）过抛物线的焦点作直线，交抛物线于两点，如果， 那么（ ） A．8 B．10 C．6 D．4 【难度】★★ 【答案】A 【解析】通过抛物线的定义，弦长转化成横坐标和的关系 （2）已知为抛物线的焦点，为上一点，且，则到轴的距离为（ ） A．4 B． C．8 D．16 【难度】★★ 【答案】A 【解析】因为为抛物线的焦点，所以， 设，由抛物线的性质得：， ∴，故到的距离为4.故选：A． 例3、设为抛物线的焦点． （1）过焦点的直线交抛物线于，两点，若，则的中点到轴的距离等于 ． 【难度】★★ 【答案】4 【解析】由题意，焦点，准线为，设，过向轴作垂线交于， 则P到y轴的距离可转化为： ．（往定义方向化归） （2）点，若点在抛物线上移动，则的最小值是__________． 【难度】★★★ 【答案】3 【解析】过向准线作垂线交于，则，所以 显然，当三点共线时，距离之和最小，此时距离为．最小值为3. （3）点，若点在抛物线上移动，则的最小值是__________． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】过向准线作垂线交于， 则， 显然当三点共线时，距离之和最小，此时． （4）若点在抛物线上移动，点在上移动，则的最小值为_____. 【难度】★★★ 【答案】 【解析】圆心即为焦点，所以取到最小值时，一定共线，且一定在和之间， 过向准线作垂线交于，所以，显然在顶点时最小， 所以．（可以类比到圆中的最值问题，另外，两个点都在动时，不妨先固定一个） 【例4】（1）已知抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的标准方程是（ ） A． B． C．或 D．或 【难度】★★ 【答案】C 【解析】当焦点在x轴上时，根据，可得焦点坐标为得 ， 则抛物线的标准方程为， 当焦点在y轴上时，根据，可得焦点坐标为， 则抛物线的标准方程为. 故选：C． （2）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，为坐标原点，且，则（ ） A．4 B．2 C． D． 【难度】★★★ 【答案】B 【解析】依题意可得，设，由得， 所以，，所以，，因为为抛物线上一点，所以， 解得.故选：B. 【例5】（1）对抛物线，下列描述正确的是 (　　) A．开口向上，焦点为(0，2) B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为(2，0) D．开口向上，焦点为 【难度】★★ 【答案】A 【解析】抛物线方程，化成标准方程形式，可得其开口向上，焦点坐标为. 故选A项. （2）已知抛物线的焦点到准线的距离为，则实数a等于（ ） A． B． C． D． 【难度】★★ 【答案】A 【解析】把抛物线方程化为标准式得，抛物线的焦点到准线的距离为， ，.故选：. 【例6】已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为　　　　　　　　　． 【难度】★★★ 【答案】8 【解析】由题意，设，，，， ，整理可得，， ，，，，． 【例7】已知圆与抛物线交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，且坐标原点O是的中点，则p的值等于_________________. 【难度】★★★ 【答案】 【解析】因为抛物线的准线方程为，所以由对称性得点， 代入圆的方程得，解得.故答案为： 【例8】已知抛物线上距离点最近的点恰好是其顶点，则的取值范围是_____________. 【难度】★★★ 【答案】 【解析】设点P（x，y）为抛物线上的任意一点