2.3双曲线-讲义-2021-2022学年高二下学期数学沪教版（2020）选择性必修第一册

双曲线 （一）双曲线的定义与标准方程 1、 双曲线的定义 到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（）的点的轨迹. 当时, 的轨迹为双曲线; 当时, 的轨迹不存在; 当时, 的轨迹为以为端点的两条射线 2、双曲线的标准方程与几何性质 标准方程 性 质 焦点 ， 焦距 范围 顶点 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 渐近线 特别：与双曲线 共渐近线的双曲线的方程为： （左边相同，区别仅在于右边的常数） 【例1】已知平面内两定点，下列条件中满足动点的轨迹为双曲线的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，满足双曲线的定义，所以点的轨迹是双曲线.故选：A 【例2】在平面直角坐标系中，已知点，点，点P是动点，且直线与的斜之积等于，则动点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设P（x，y），∵直线AP与BP的斜率之积等于, ∴ 即 . 故选B. 【例3】双曲线上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为（ ） A．22或2 B．7 C．22 D．2 【答案】A 【解析】设双曲线的左右焦点分别为，则， 设P为双曲线上一点，不妨令（）， ∴点可能在左支，也可能在右支， 由，得， 所以或2． 所以点到另一个焦点的距离是或． 故选：A． 【例4】根据下列条件，求双曲线方程： （1）已知双曲线的实轴的长度比虚轴的长度大2，焦距为10； 【答案】 【解析】依题意可得，得，所以双曲线的方程为． （2）已知双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上； 【答案】-=1 【解析】由题意得，双曲线的焦距为，即， 又双曲线的渐近线方程为，点在的渐近线上， 所以，联立方程组可得，所以双曲线的方程为． （3）与双曲线有共同渐近线，且过点； 【答案】 【解析】：设所求双曲线方程为，将点代入得， 所以双曲线方程为。 【例5】（1）若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意有，所以.故选：B. （2）若方程所表示的曲线为,则下面四个命题中正确的是（ ） A．若为椭圆,则 B．若为双曲线,则或 C．曲线不可能是圆 D．若为椭圆，且长轴在轴上，则 【答案】B 【解析】若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线； 若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线； 若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆； 若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆； 若，方程即为，它表示圆，综上，选B. 【例6】某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上) 【答案】见解析 【解析】：时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的． 如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020） 设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360 由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上， ( A B C P O x y ) 依题意得a=680, c=1020， 用y=－x代入上式，得，∵|PB|>|PA|, 答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处. 【巩固训练】 1、设分别是双曲线的左、右焦点.若点在双曲线上，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点．∵点P在双曲线上，且，根据直角三角形斜边中线是斜边的一半，∴=2|=|=2．故选B． 2、已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 【答案】 【解析】如图以为轴，的垂直平分线为轴，建立坐标系， 设炮弹爆炸点为，由题知：.所以的轨迹是以，为焦点，的抛物线的右支；即，，.所以的轨迹方程为. 3、已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵双曲线1（a＞0，b＞0）的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与