第02讲 矩形的判定-【帮课堂】2021-2022学年八年级数学下册同步精品讲义（华东师大版）

第2讲矩形的判定 目标导航 1．理解并掌握矩形的判定定理，能有理有据的推理证明，精练准确地书写表达. 2. 能熟练应用矩形的性质、判定等知识进行有关证明和计算. 知识精讲 知识点01 矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 【即学即练1】 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，连接ED，EF． （1）求证：四边形DEFC是矩形； （2）请用无刻度的直尺在图中作出∠ABC的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． 【分析】（1）首先证明四边形DEFC是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断． （2）连接EC，DF交于点O，作射线BO即可． 【解答】（1）证明：∵D，E，F分别是AC，AB，BC的中点， ∴DE∥FC，EF∥CD， ∴四边形DEFC是平行四边形， ∵∠DCF＝90°， ∴四边形DEFC是矩形． （2）连接EC，DF交于点O，作射线BO，射线BO即为所求． 归纳：与矩形有关的计算：(1)若题目中涉及矩形的折叠，要注意折叠前后对应线段相等、对应角相等，即被折叠的角折叠之后在任何位置依旧是直角； (2)因为矩形四个角都是直角，则想到将所求或涉及的线段放在直角三角形中，常用到勾股定理，特殊角三角函数的计算； (3)常结合矩形对角线相等且互相平分的性质，故可根据矩形对角线的关系应用全等三角形的判定和性质或等腰三角形的性质进行求解． 【即学即练2】 已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）求证：四边形AECF是矩形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC， ∵AE⊥BC，CF⊥AD， ∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°， 在△ABE和△CDF中，， ∴△ABE≌△CDF（AAS）； （2）证明：∵AD∥BC， ∴∠EAF＝∠AEB＝90°， ∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°， ∴四边形AECF是矩形． 能力拓展 考法01 1.如图，将一长方形纸片沿着虚线剪成两个全等的梯形纸片．根据图中标示长度与角度，求梯形纸片中较短的底边长度为何？（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C． 【分析】根据矩形的性质得出∠A＝∠B＝90°，AB＝DC＝8，AD∥BC，根据矩形的判定得出四边形ABFQ是矩形，求出AB＝FQ＝DC＝8，求出EQ＝FQ＝8，即可得出答案． 【解答】解： 过F作FQ⊥AD于Q，则∠FQE＝90°， ∵四边形ABCD是长方形， ∴∠A＝∠B＝90°，AB＝DC＝8，AD∥BC， ∴四边形ABFQ是矩形， ∴AB＝FQ＝DC＝8， ∵AD∥BC， ∴∠QEF＝∠BFE＝45°， ∴EQ＝FQ＝8， ∴AE＝CF＝×（20﹣8）＝6， 故选：C． 2. 如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD上的点． (1)若AE＝BF＝CG＝DH.求证：四边形EFGH是矩形； (2)若E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2，求矩形ABCD的面积． 【点拨】(1)在矩形ABCD对角线上有条件，同时还在四边形EFGH对角线上有条件，所以可通过对角线判定矩形；(2)求矩形ABCD的面积可转化成求AC与DG的积或转化成AD与CD的积． 【解答】解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OB＝OC＝OD. ∵AE＝BF＝CG＝DH，∴OE＝OF＝OG＝OH. ∴四边形EFGH是矩形． (2)∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD. ∵OE＝OA，OF＝OB，OG＝OC，OH＝OD，∴OE＝OF＝OG＝OH. ∴四边形EFGH是矩形． ∵DG⊥AC，OG＝2，∴OD＝4.∴DG＝2. 又∵AC＝4OF＝8，∴S△ADC＝AC·DG＝8. ∴S矩形ABCD＝2S△ADC＝16. 3．当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知矩形纸片ABCD(矩形纸片要足够长)，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角： (1)以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在边AD上，折痕与BC交于点E； (2)将纸片展平后，再一次折叠纸片，以点E所在直线为折痕，使点A落在BC上，折痕EF交AD于F，求∠AFE的度数． 【解析】解：设折叠后，点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B