第05讲 正方形-【帮课堂】2021-2022学年八年级数学下册同步精品讲义（华东师大版）

第5讲 正方形 目标导航 1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系； 2．掌握正方形的性质及判定方法． 知识精讲 知识点01 正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 【即学即练1】正方形具有而菱形不一定具有的性质是（　　） A. 四条边相等 B. 对角线互相垂直平分 C. 对角线平分一组对角 D. 对角线相等 【答案】D； 【解析】正方形的性质：正方形的四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角； 菱形的性质：菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角； 因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等；故选：D． 知识点02正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 【即学即练2】如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？（　　） A．50 B．55 C．70 D．75 【点拨】由平角的定义求出∠CED的度数，由三角形内角和定理求出∠D的度数，再由平行四边形的对角相等即可得出结果． 【答案】C． 【解析】 解：∵四边形CEFG是正方形， ∴∠CEF=90°， ∵∠CED=180°﹣∠AEF﹣∠CEF=180°﹣15°﹣90°=75°， ∴∠D=180°﹣∠CED﹣∠ECD=180°﹣75°﹣35°=70°， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠B=∠D=70°（平行四边形对角相等）． 故选C． 【总结】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形和正方形的性质，由三角形内角和定理求出∠D的度数是解决问题的关键． 知识点03要点三、正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 【即学即练3】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗?请说明理由． 【解析】 解：是正方形，理由如下： 作DG⊥AB于点G． ∵ AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB， ∴ DF＝DG． 同理可得：DG＝DE．∴ DF＝DE． ∵ DF⊥AC，DE⊥BC，∠C＝90°， ∴ 四边形CEDF是矩形． ∵ DF＝DE． ∴ 四边形CEDF是正方形． 【总结】(1)本题运用了“有一组邻边相等的矩形是正方形”来判定正方形．(2)证明正方形的方法还可以直接通过证四条边相等加一个直角或四个角都是直角来证明正方形． 能力拓展 考法01 1. 如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上．四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则 ( ) A．S＝2 B．S＝2.4 C．S＝4 D．S与BE长度有关 【答案】A； 【解析】设正方形EFGB的边长是，则S＝ 　　　　＝×（＋2）×＋ ×2×2－×（＋2）×＝2. 2.如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由题意设CH=xcm，则DH=EH=（9﹣x）cm， ∵BE：EC=2：1， ∴CE=BC=3cm ∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2， 即（9﹣x）2=32+x2， 解得：x=4，即CH=4cm． 3. 如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为，，则的值为( ) A.16 B.17 C.18 D.19 【答案】B； 【解析】设正方形的边长为，根据等腰直角三角形的性质知，AC＝，，∴AC＝2CD，CD＝.EC＝，，∵的边长为3，的面积为3×3＝9，∴＝8＋9＝17．