第04讲 菱形的判定-【帮课堂】2021-2022学年八年级数学下册同步精品讲义（华东师大版）

第4讲 菱形的判定 目标导航 1．理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算； 2．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力． 知识精讲 知识点01菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 【即学即练1】如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥AC，DF∥BC，四边形DECF是菱形吗?试说明理由． 【点拨】由菱形的定义去判定图形，由DE∥AC，DF∥BC知四边形DECF是平行四边形，再由∠1＝∠2＝∠3得到邻边相等即可． 【解析】 解：四边形DECF是菱形，理由如下： ∵ DE∥AC，DF∥BC ∴ 四边形DECF是平行四边形． ∵ CD平分∠ACB，∴ ∠1＝∠2 ∵ DF∥BC， ∴ ∠2＝∠3， ∴ ∠1＝∠3． ∴ CF＝DF， ∴ 四边形DECF是菱形． 【总结】在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，再由一对邻边相等来判定它是菱形． 能力拓展 考法01 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论． 【解析】 四边形BFDE是菱形， 证明：∵AD⊥BD， ∴△ABD是直角三角形，且AB是斜边， ∵E为AB的中点， ∴DE＝AB＝BE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，DC＝AB， ∵F为DC中点，E为AB中点， ∴DF＝DC，BE＝AB， ∴DF＝BE，DF∥BE， ∴四边形DFBE是平行四边形， ∵DE＝EB， ∴四边形BFDE是菱形． 考法02 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF． （1）求证：BD=DF； （2）求证：四边形BDFG为菱形； （3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长． 【解析】 证明：∵∠ABC=90°，BD为AC的中线， ∴BD=AC， ∵AG∥BD，BD=FG， ∴四边形BGFD是平行四边形， ∵CF⊥BD， ∴CF⊥AG， 又∵点D是AC中点， ∴DF=AC， ∴BD=DF； （2）证明：∵BD=DF， ∴四边形BGFD是菱形， （3）解：设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x， ∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°， ∴AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2， 解得：x=5， ∴四边形BDFG的周长=4GF=20． 分层提分 题组A 基础过关练 1.在四边形ABCD中,对角线AC,BD互相平分,若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形,则这个条件可以是 (　 　) A.∠ABC=90° B.AC⊥BD C.AB=CD D.∠A=∠C 【答案】B　 【解析】　在四边形ABCD中,对角线AC,BD互相平分,∴四边形ABCD是平行四边形,∴当AC⊥BD时,四边形ABCD是菱形.故选B. 2.如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到点E,使DE=AD,连接EB,EC,DB,下列条件中,不能使四边形DBCE成为菱形的是 (　 　) A.AB=BE B.BE⊥DC C.AD=BD D.BE平分∠DBC 【答案】A　 【解析】　∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,又∵DE=AD,∴DE∥BC,DE=BC,∴四边形DBCE为平行四边形.B项,BE⊥DC,根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”,可知能使四边形DBCE成为菱形;C项,AD= BD, 则BD=DE,根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”,可知能使四边形DBCE成为菱形;D项,BE平分∠DBC,则∠DBE=∠EBC=∠DEB,可得BD=DE,根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”,可知能使四边形DBCE成为菱形.故选A. 3.如图,四边形ABCD是一张平行四边形纸片,要求利用所学知识作出一个菱形,甲、乙两位同学的作法如下,则关于甲、乙两人的作法,下列判断正确的为 (　 　) A.仅甲正确 B.仅乙正确 C.甲、乙均正确 D.甲、乙均错误 【答案】C　 【解析】　甲的作法正确,理由如下:设EF交AC于点O,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠DAC= ∠ACB,∵EF是AC的垂直平分线,∴AO=CO,在△AOE和△COF中, ∠EAO=∠FCO