第03讲 菱形的性质-【帮课堂】2021-2022学年八年级数学下册同步精品讲义（华东师大版）

第3讲 菱形的性质 目标导航 知识目标：掌握菱形的概念及其特殊的性质。 能力目标：发展学生的合情推理能力，进一步培养学生数学说理的习惯与能力。 情感目标：经过自己的努力获得新知，形成基本的科学态度和理性精神。 知识精讲 知识点01 菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 【即学即练1】 1．下列说法中，错误的是（　　） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边 C．菱形的对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 【答案】D 2．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 【答案】D 【解析】∵菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直； 平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分； ∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直． 故选D． 知识点02 菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 要点诠释： （1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 【即学即练2】如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE． 【点拨】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE． 【解析】 证明：连接AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC平分∠DAE，CD=BC， ∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°． 在Rt△CDF与Rt△CBE中， ， ∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL）， ∴DF=BE． 【总结】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质 能力拓展 考法01 1．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD的周长是( ) A.4 B.8 C.12 D.16 【答案】D； 【解析】BC＝2EF＝4，周长等于4BC＝16. 2.如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则△ABC的周长等于（　　） A．20 B．15 C．10 D．5 【答案】B； 【解析】∵∠BCD=120°，∴∠B=60°，又∵ABCD是菱形，∴BA=BC，∴△ABC是等边三角形，故可得△ABC的周长=3AB=15． 3.如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，若∠BAC＝50°，则∠ABC等于（　　） A．40° B．50° C．80° D．100° 【答案】C； 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAC＝∠BAD，CB∥AD，∵∠BAC＝50°，∴∠BAD＝100°，∵CB∥AD，∴∠ABC＋∠BAD＝180°，∴∠ABC＝180°－100°＝80°． 4．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为( ) A.1 B. 2 C. D. 【答案】D； 【解析】∠DAF＝∠FAO＝∠OAE＝30°，所以2BE＝CE＝AE，3BE＝3，BC＝BE＝. 考法02 5．已知菱形的周长为40，两个相邻角度数之比为1∶2，则较长对角线的长为______． 【答案】； 【解析】由题意，菱形相邻内角为60°和120°，较长对角线为. 6．（南充）如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为 . 【答案】1：； 【解析】如图，设AC，BD相较于点O， ∵菱形ABCD的周长为8cm， ∴AB=B