8 课时作业(八) 等比数列的前n项和（课时作业）-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册【金版新学案】同步导学（人教B版）

课时作业(八)　等比数列的前n项和 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) ☆ 一、选择题 1．(2020·广东东莞一模)设Sn为正项递增等比数列{an}的前n项和，且2a3＋2＝a2＋a4，a1a5＝16，则S6的值为(　　) A．63 B．64 C．127 D．128 A　[根据题意，正项递增等比数列{an}中，a1a5＝16，即a＝16，则a3＝4. 又2a3＋2＝a2＋a4，则a2＋a4＝＋4q＝10，解可得q＝2或， 又由数列{an}为正项递增等比数列，则q＝2. 又由a3＝4，则a1＝1， 则S6＝＝63.] 2. (2020·湖北宜昌期末)等比数列{an}的各项均为正数且满足a1·a7＝256，a4＋a5＝48，则数列{an}的前5项和为(　　) A．30 B．31 C．62 D．63 C　[由题意可得， 解得q＝2，a1＝2，∴S5＝＝62.] 3．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝，a＝a6，则S3＝(　　) A． B． C．4 D． D　[在等比数列{an}中，a＝a6a2＝a6，∴a2＝1， 则公比q＝＝3，∴a3＝a2·q＝3， 则S3＝＋1＋3＝.] 4．(2020·北京期中)设公比为3的等比数列{an}前n项和为Sn，且S3＝，则a5＋a6＋a7＝(　　) A．3 B．9 C．27 D．81 C　[根据题意，等比数列{an}公比为3，且S3＝，即a1＋a2＋a3＝， 则a5＋a6＋a7＝q4(a1＋a2＋a3)＝33＝27.] 5．(多选)(2020·山东泰安模拟)已知等比数列{an}的公比为q，前4项的和为a1＋14，且a2，a3＋1，a4成等差数列，则q的值可能为(　　) A． B．1 C．2 D．3 AC　[因为a2，a3＋1，a4成等差数列， 所以a2＋a4＝2(a3＋1)， 因此，a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋3a3＋2＝a1＋14， 故a3＝4. 又{an}是公比为q的等比数列， 所以由a2＋a4＝2(a3＋1)， 得a3(q＋)＝2(a3＋1)，即q＋＝， 解得q＝2或.] 二、填空题 6．设Sn为等比数列{an}的前n项和． 若a1＝，a＝a6，则S5＝________． 解析：　由a＝a8得(a1q4)2＝a1q7， 整理得q＝＝3. ∴S5＝＝. 答案：　 7．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________． 解析：　设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，偶数项之和与奇数项之和分别为S偶，S奇， 由题意S偶＋S奇＝3S奇， 即S偶＝2S奇， 因为数列{an}的项数为偶数， 所以q＝＝2. 答案：　2 8．(2020·陕西咸阳月考)已知等比数列{an}中，各项都是正数，前n项和为Sn，且4a3，a5，2a4成等差数列．若a1＝1，则S4＝________． 解析：　设等比数列{an}的公比为q(q>0)， 由4a3，a5，2a4成等差数列，且a1＝1， 得2a5＝4a3＋2a4，即2a1q4＝4a1q2＋2a1q3， 得q2－q－2＝0，即q＝2(q>0). ∴S4＝＝15. 答案：　15 三、解答题 9．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列． (1)求{an}的公比q； (2)若a1－a3＝3，求Sn. 解析：　(1)依题意有2S3＝S1＋S2，即a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)， 由于a1≠0，故2q2＋q＝0.又q≠0，从而q＝－. (2)由已知可得a1－a1(－)2＝3，故a1＝4， 从而Sn＝＝[1－(－)n]. 10．借贷10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061，1.015≈1.051) 解析：　方法一：设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6)， 则a0＝10 000，a1＝1.01a0－a， a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a， … a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－(1＋1.01＋…＋1.015)a. 由题意，可知a6＝0， 即1.016a0－(1＋1.01＋…＋1.015)a＝0， a＝. ∵1.016≈1.061，∴a＝≈1 739. 故每月应支付1 739元． 方法二：一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1＝104(1＋0.01)6＝104×1.016(元). 另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋