7 课时作业(七) 等比数列的性质（课时作业）-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册【金版新学案】同步导学（人教B版）

课时作业(七)　等比数列的性质 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) ☆ 一、选择题 1．(多选)设数列{an}为等比数列，则下面四个数列中是等比数列的是(　　 ) A．{a} B．{pan}(p为非零常数) C．{an·an＋1} D．{an＋an＋1} ABC　[对于A，因为＝＝q3(常数)， 所以{a}是等比数列； 对于B，因为＝＝q(常数)，所以{pan}是等比数列； 对于C，因为＝＝q2(常数)，所以{an·an＋1}是等比数列； 对于D，q≠－1时，因为＝＝＝q(常数) ∴{an＋an＋1}是等比数列，若q＝－1，an＋an＋1＝0，不是等比数列．] 2. (2020·北京检测)已知实数－，a，b，c，－8成等比数列，则abc＝(　　 ) A．－8 B．8 C．±8 D．16 A　[根据题意，实数－，a，b，c，－8成等比数列， 则有b2＝ac＝×(－8)＝4，则b2＝ac＝4， 又由b＜0，则b＝－2，则abc＝－8.] 3．(2020·浙江宁波期末)已知等比数列{an}，a10，a30是方程x2－10x＋16＝0的两实根，则a20等于(　　 ) A．4 B．±4 C．8 D．±8 A　[根据题意，{an}为等比数列，若a10，a30是方程x2－10x＋16＝0的两实根， 则有a10a30＝(a20)2＝16，a10＋a30＝10＞0， 则a10，a30都为正数，必有a20＞0.则a20＝4.] 4．(2020·河北保定期末)设递增等比数列{an}的公比为q，且a1＝3，3a1，2a2，a3成等差数列，则q＝(　　 ) A．3 B．1或3 C．2 D．2或3 A　[由数列{an}为等比数列，且a1＝3，3a1，2a2，a3成等差数列， 得4a2＝3a1＋a3，即12q＝9＋3q2， ∴q2－4q＋3＝0，解得q＝1或q＝3. 又数列{an}是递增等比数列，∴q＝3.] 5．已知等比数列{an}满足an>0，n＝1，2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝(　　 ) A．n(2n－1) B．(n＋1)2 C．n2 D．(n－1)2 C　[由a5·a2n－5＝22n(n≥3)得a＝22n.又an>0， 则an＝2n，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2，故选C.] 二、填空题 6．在和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为________． 解析：　设插入的3个数依次为a，b，c，即，a，b，c，8成等比数列，由等比数列的性质可得b2＝ac＝×8＝4，因为a2＝b>0，∴b＝2(舍负).所以这3个数的积为abc＝4×2＝8. 答案：　8 7．在等比数列{an}中，a3a5a7a9a11＝243，则的值为________． 解析：　由等比数列的性质知a3a11＝a5a9＝a得a＝243， ∴a7＝3，而a7a11＝a，∴＝a7＝3. 答案：　3 8．已知数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，且满足a2 017＋a2 018＝π，b＝4，则tan ＝________． 解析：　数列{an}为等差数列，且a2 017＋a2 018＝π， 所以a2＋a4 033＝a2 017＋a2 018＝π， 数列{bn}为等比数列，且b＝4， 所以b1b39＝b＝4， 所以tan ＝tan ＝1. 答案：　1 三、解答题 9．(1)有四个实数，前三个数依次成等比，它们的积是－8，后三个数依次成等差，它们的积为－80，求出这四个数． (2)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13，则成等差数列，求这四个数． 解析：　(1)由题意设此四数为，b，bq，a， 则有解得或 所以这四个数为1，－2，4，10或－，－2，－5，－8. (2)设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列， 据题意 整理得解得 因此所求四个数为3，6，12，24. 10．已知数列{an}前n项和为Sn，满足Sn＝2an－2n(n∈N*).证明：{an＋2}是等比数列，并求{an}的通项公式． 证明：　由已知，Sn＝2an－2n(n∈N*)， Sn－1＝2an－1－2(n－1)(n≥2)， 两式相减得an＝2an－1＋2， 即an＋2＝2(an－1＋2)， 又a1＋2＝4， 所以{an＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列， an＋2＝4×2n－1， an＝4×2n－1－2＝2n＋1－2(n≥2)， 又a1＝2， 所以an＝2n＋1－2(n∈N*). ☆ 11．(多选)等比数列{an}的公比为q，前n项积为Tn，且满足