6 课时作业(六) 等比数列的定义（课时作业）-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册【金版新学案】同步导学（人教B版）

课时作业(六)　等比数列的定义 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) ☆ 一、选择题 1．(2020·石林彝族自治县民族中学月考)在等比数列{an}中，若a1＝，q＝，an＝，则n为(　　) A．3　　　　　　　　 B．4 C．5 D．6 C　[∵an＝a1qn－1， ∴＝×，解得n＝5，故选C.] 2．已知{an}是等比数列，a2＝3，a5＝，则公比q＝(　　 ) A．－ B．－3 C．3 D． D　[∵a2＝a1q，a5＝a1q4， ∴q3＝＝×＝.∴q＝.] 3．(2020·吉林长春期末)已知数列{an}为等比数列，若a3＝1，a9＝125，则a5＝(　　 ) A．±5 B．25 C． D．5 D　[设等比数列{an}的公比为q， ∵a3＝1，a9＝125， ∴1×q6＝125，解得q2＝5.∴a5＝a3q2＝5.] 4．等比数列{an}满足a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，则a9＋a10＝(　　 ) A．28 B．29 C．210 D．211 B　[等比数列{an}满足a1＋a2＝2，a2＋a3＝4， ∴公比q＝＝2， 则a9＋a10＝(a1＋a2)·q8＝29.] 5．(2020·河南郑州期末)已知等比数列{an}满足a1a6＝a3，且a4＋a5＝，则a1＝(　　 ) A． B． C．4 D．8 D　[设数列{an}的公比为q， ∵a1a6＝a3，且a4＋a5＝， ∴aq5＝a1q2，a1q3(1＋q)＝，解得a1＝8，q＝.] 二、填空题 6．在数列{an}中，a1＝2，且对任意自然数n，3an＋1－an＝0，则an＝________． 解析：　由3an＋1－an＝0得＝， ∴an＝2·. 答案：　2· 7．(2020·陕西丹凤中学月考)已知数列{an}为等比数列，若a1＋a3＝5，a2＋a4＝10，则公比q＝________． 解析：　因为数列{an}为等比数列，由等比数列的通项公式可得，＝＝q＝2. 答案：　2 8．(2020·江苏南通期末)已知等比数列{an}各项均为正数，满足a2＝2，a8＝a3·a5，则公比q＝________． 解析：　根据题意，等比数列{an}中，a2＝2， a8＝a3·a5， 则a2q6＝a2q·a2q3，即q2＝2，解得q＝±. 因为数列{an}各项均为正数，故q＝. 答案：　 三、解答题 9．(2020·山西大同期中)已知等差数列{an}满足：a1＋a2＝10，a5－a3＝4. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设等比数列{bn}满足：b2＝a3，b3＝a7，问b4是数列{an}的第多少项？ 解析：　(1)设等差数列{an}的公差为d， ∵a1＋a2＝10，a5－a3＝4， ∴2a1＋d＝10，2d＝4， 联立解得a1＝4，d＝2，an＝4＋2(n－1)＝2n＋2. (2)设等比数列{bn}的公比为q，由b2＝a3＝8，b3＝a7＝16＝qb2，解得q＝2. ∴2b1＝8，解得b1＝4， ∴b4＝4×23＝32＝2n＋2，解得n＝15. ∴b4是数列{an}的第15项． 10．(2020·沙雅二中期末)已知递增等比数列{an}满足：a1＝2，a4＝16. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}为等差数列，且满足b2＝a2－1，b3＝ a3，求数列{bn}的通项公式及前10项的和． 解析：　(1)设等比数列的公比为q， 因为a1＝2，a4＝16，结合a4＝a1q3得q＝2， 所以an＝a1·qn－1＝2n， 即数列{an}的通项公式为an＝2n. (2)由(1)知an＝2n， 所以b2＝a2－1＝22－1＝3， b3＝a3＝×23＝5， 设等差数列{bn}的公差为d， 则d＝b3－b2＝2，b1＝b2－d＝1，∴bn＝2n－1. 设数列{bn}的前10项的和为S10， 则S10＝10b1＋·d＝10×1＋×2＝100， 所以数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1， 数列{bn}前10项的和S10＝100. ☆ 11．(多选)已知数列{an}是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是(　　 ) A． B．{log2an} C．{an·an＋1} D．{an＋an＋1＋an＋2} ACD　[由题意，可设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，则an＝a1·qn－1. 对于A，＝＝·. ∴数列是一个以为首项，为公比的等比数列； 对于B，log2an＝log2(a1·qn－1)＝log2a1＋(n－1)log2q. ∴数列{log2an}是一个以log2a1为首项，log2q为公差的等差数列； 对于C，∵＝＝＝q2， ∴数列{an·an＋1}是一个以q2为公比的等比数列； 对于D，∵＝＝q， ∴数列{an＋an＋1＋an＋2}是一个以q