8 课时作业(八) 二项式系数的性质（课时作业）-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册【金版新学案】同步导学（人教A版）

课时作业(八)　二项式系数的性质 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [A级　基础达标] 1．(a＋b)n，当n＝1，2，3，4，5，6时展开式的二项式系数表示形式 (a＋b)1………………………………1　　1　　　　　 (a＋b)2……………………………1　　2　　1　　　　 (a＋b)3………………………1　　3　 　3　 　 1　　 　 (a＋b)4……………………1　　4　　 λ　　4　 　1　　　 (a＋b)5…………………1　　5　　μ　　10　　5　　1　　 (a＋b)6……………1　　6　　15　　20　　15　　6　　1 借助上面的表示形式，判断λ与μ的值分别是(　　) A．5，9　　 　B．5，10　　 　C．6，10　　 　D．6，9 C　[结合题意可得λ＝3＋3＝6，μ＝4＋6＝10，故选C.] 2．设二项式的展开式中第5项是常数项，那么这个展开式中系数最大的项是(　　) A．第9项 B．第8项 C．第9项和第10项 D．第8项和第9项 A　[因为展开式的第5项为T5＝Cx－4，所以令－4＝0，解得n＝16，所以展开式中系数最大的项是第9项．] 3．设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 A　[令x＝－1，则原式化为[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝－2 ＝a0＋a1(2－1)＋a2(2－1)2＋…＋a11(2－1)11， ∴a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2.] 4．已知的展开式中各项系数的和为32，则该二项展开式中系数最大的项为(　　) A．270x－1 B．270x C．405x3 D．243x5 B　[令x＝1，得(a－1)5＝32，解得a＝3. 的展开式的通项为Tr＋1＝C·(3x)5－r·＝(－1)r·35－r·C·x5－2r. 当r＝0时，35＝243； 当r＝2时，33·C＝270； 当r＝4时，3·C＝15. 所以该二项展开式中第3项的系数最大，故该二项展开式中系数最大的项为270x.] 5．(多选)已知(ax2＋)n(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1 024，则下列说法正确的是(　　) A．展开式中奇数项的二项式系数和为256 B．展开式中第6项的系数最大 C．展开式中存在常数项 D．展开式中含x15项的系数为45 BCD　[由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，即C＝C，可知n－4＝6，即n＝10， 又展开式的各项系数之和为1 024，即当x＝1时，＝1 024，所以a＝1， 所以二项式为＝， 则二项式系数和为210＝1 024，则奇数项的二项式系数和为×1 024＝512，故A错误； 由n＝10可知展开式共有11项，中间项的二项式系数最大，即第6项的二项式系数最大， 因为x2与x－的系数均为1，则该二项式展开式的二项式系数与系数相同，所以第6项的系数最大，故B正确； 若展开式中存在常数项，由通项Tr＋1＝Cx2(10－r)xr可得2(10－r)－r＝0，解得r＝8，故C正确； 由通项Tr＋1＝Cx2(10－r)xr可得2(10－r)－r＝15，解得r＝2，所以系数为C＝45，故D正确， 故选BCD.] 6．二项式(2x＋1)6的展开式中，第5项的系数等于________． 解析：　因为二项式(2x＋1)6展开的通项公式Tr＋1＝C·(2x)6－r·1r， 所以T5＝C(2x)2＝60x2. 答案：　60 7．设(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝__________. 解析：　令x＝1，得3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n，① 令x＝－1，得1＝a0－a1＋a2－…－a2n－1＋a2n，② ①＋②得3n＋1＝2(a0＋a2＋…＋a2n)， 所以a0＋a2＋…＋a2n＝. 答案：　 8．(4－3x＋2y)n(n∈N*)展开式中不含y的项的系数和为________. 解析：　要求(4－3x＋2y)n(n∈N*)展开式中不含y的项， 只需令y＝0，所以(4－3x＋2y)n(n∈N*)展开式中不含y的项的系数和即为(4－3x)n展开式的系数和． 令x＝1，得(4－3x)n展开式的各项系数和为(4－3)n＝1. 答案：　1 9．已知(n∈N*)的展开式中第7项是常数项． (1)求n的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项． 解析：　(1)展开式的通项为Tr＋1＝Cxn－r＝Cxn－r， 因为第7项为常数项，所以第7项T7＝Cxn－9, 即n＝9. (2