课时作业(十四)　导数的概念及其几何意义（课时作业）-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【金版新学案】同步导学（北师大版）

课时作业(十四)　导数的概念及其几何意义 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 1．函数y＝f(x)＝1－3x在x＝2处的导数为(　　) A．－3 B．－2 C．－5 D．－1 A　[Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝1－3(2＋Δx)－(1－3x2)＝－3Δx，＝－3，Δx趋于0时，趋于－3.] 2．曲线y＝x2－2在点处的切线的倾斜角为(　　) A．1 B． C． D．－ B　[＝＝Δx＋1， 当Δx→0时，f′(1)＝1， ∴k＝f′(1)＝1.故倾斜角为.] 3.如图，点A(2，1)，B(3，0)，E(x，0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的(　　) D　[函数的定义域为[0，＋∞)，当x∈[0，2]时， 在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越大，即斜率f′(x)在[0，2]内越来越大，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是下凸的； 当x∈(2，3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越小，即斜率f′(x)在(2，3)内越来越小，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是上凸的； 当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图像为平行于x轴的射线．] 4．已知曲线f(x)＝－和点M(1，－2)，则曲线在点M处的切线方程为(　　) A．y＝－2x＋4 B．y＝－2x－4 C．y＝2x－4 D．y＝2x＋4 C　[＝＝， ∴当Δx→0时，f′(1)＝2，即k＝2. ∴直线方程为y＋2＝2(x－1).即y＝2x－4.] 5．已知函数f(x)＝x2＋2bx的图象在点A(0，f(0))处的切线l与直线x＋y＋3＝0垂直，若数列的前n项和为Sn，则S2 022的值为(　　) A． B． C． D． D　[由题意可得A(0，0)，函数f(x)＝x2＋2bx的图象在点A(0，0)处的切线l的斜率k＝ ＝2b， 由l与直线x＋y＋3＝0垂直，可得2b·(－1)＝－1，所以b＝. 因为f(n)＝n2＋2bn＝n2＋n＝n(n＋1)， 所以＝－，故数列的前n项和为Sn＝＋＋＋…＋ ＝1－， 所以S2 022＝1－＝.] 6．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处切线斜率为16，则点P坐标为 ． 解析：　设P(x0，2x＋4x0)， 则f′(x0)＝ ＝ ＝4x0＋4， 又∵f′(x0)＝16， ∴4x0＋4＝16，∴x0＝3，∴P(3，30). 答案：　(3，30) 7．函数y＝在x＝处的切线与两坐标轴所围成图形的面积是 ． 解析：　＝＝－. 当Δx无限趋近于0时，无限趋近于－4. ∴f′＝－4， 切线方程是y－2＝－4，解得与坐标轴的交点是(0，4)和(1，0)，故所围成图形的面积为2. 答案：　2 8．已知函数f(x)＝x3－3ax(a∈R).若直线x＋y＋m＝0对任意的m∈R都不是曲线y＝f(x)的切线，则实数a的取值范围为 ． 解析：　由题意， 得f′(x)＝ ＝3x2－3a＝－1无解，即3x2－3a＋1＝0无解，故Δ<0，解得a<. 答案：　a< 9．已知点P(2，－1)在曲线f(x)＝上．求： (1)曲线在点P处的切线的斜率； (2)曲线在点P处的切线方程． 解析：　(1)将P(2，－1)的坐标代入f(x)＝，得t＝1， ∴f(x)＝. ∴f′(2)＝ ＝ ＝ ＝1， 曲线在点P处的切线斜率为1； (2)由(1)知曲线在点P处的切线方程为 y－(－1)＝x－2，即x－y－3＝0. 10．求曲线y＝f(x)＝x2＋3的切线，使之与直线y＝6x－5平行． 解析：　设切点为(x0，y0). ∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)2－x ＝2Δx·x0＋(Δx)2， ∴＝＝2x0＋Δx. ∴ ＝2x0，即f′(x0)＝2x0，令2x0＝6，得x0＝3， 即在点(3，12)处的切线平行于y＝6x－5， 此时切线方程为y－12＝6(x－3)，即6x－y－6＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $