课时作业(十六) 从位移、速度、力到向量（课时作业）-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【金版新学案】同步导学（北师大版）

课时作业(十六)　从位移、速度、力到向量 1．若从平行四边形ABCD的四个顶点中任取两个作为向量的起点和终点，可得到两两互不相等的向量的个数为(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 B　[如图，两两互不相等的向量有：，，，，，，，，共8个．故选B.] 2．在四边形ABCD中，||＝||且＝，则四边形ABCD的形状一定是(　　) A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 C　[因为＝，所以BA∥CD，且BA＝CD， 所以四边形ABCD是平行四边形， 又||＝||，即AB＝AD， 所以平行四边形ABCD是菱形，故选C.] 3．设点O是正方形ABCD的中心，则下列结论错误的是(　　) A.＝ B．∥ C．与共线 D．＝ D　[如图，∵与方向相同，长度相等， ∴＝，A中结论正确； ∵B，O，D三点在一条直线上，∴∥，B中结论正确； ∵AB∥CD，∴与共线，C中结论正确； ∵与的方向不同，∴≠，D中结论错误． 故选D.] 4．下列命题中，正确的是(　　) A．若|a|＝|b|，则a＝b B．若a＝b，则a∥b C．若|a|>|b|，则a>b D．若|a|＝1，则a＝1 B　[对于A，当|a|＝|b|时，a和b的方向未必相同，不能得到a＝b，A不正确； 对于B，当a＝b时，a和b的方向相同，所以a∥b成立，B正确； 对于C，两向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，C不正确； 对于D，|a|＝1表示a的长度为1，a＝1不对，D不正确． 故选B.] 5．如图，梯形ABCD中，||＝||，∥∥，则下列各组向量中相等的是(　　) A．与 B．与 C．与 D．与 D　[与，与，与方向都不相同，故不可能是相等向量，易知EO＝OF，∴＝，故选D.] 6．正六边形ABCDEF的中心是点O，以这七个点为起点或终点的向量中，与相等的向量共有________个，与的模相等且夹角为60°的向量共有________个． 解析：　如图，正六边形ABCDEF中，点O为其中心， 以这七个点为起点或终点的向量中，与相等的向量有：，，，共3个， 与的模相等，且夹角为60°的向量有：，，，，，，，，共8个． 答案：　3　8 7．下列几种说法：(1)有相同起点的两个非零向量不共线；(2)平行向量就是共线向量；(3)平行四边形ABCD中，一定有＝；(4)向量a与b不共线，则a与b都是非零向量．其中所有正确说法的序号是________． 解析：　当两个向量有相同的起点且在同一条直线上时，这两个向量共线，(1)错；平行向量就是共线向量，(2)正确；平行四边形ABCD中，，方向相同，大小相等，一定有＝，(3)正确；若a与b中有一个是零向量，则a与b共线，故(4)正确．故答案为(2)(3)(4). 答案：　(2)(3)(4) 8．已知||＝1，||＝2，若∠ABC＝90°，则||＝____________，向量与的夹角为________． 解析：　如图，由勾股定理可知BC＝＝， 所以||＝， 又cos A＝＝，∴A＝60°， ∴与的夹角为60°， ∴与的夹角为120°. 答案：　　120° 9．如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED和四边形OCFB都是正方形，在向量，，，，，，，中： (1)分别写出与，相等的向量； (2)写出与共线的向量； (3)写出与长度相等的向量； (4)求向量与的夹角的大小． 解析：　(1)＝，＝. (2)与共线的向量为，，. (3)与长度相等的向量为，，，，，，. (4)因为＝， 所以向量与的夹角即向量与的夹角，为135°. 10．如图，半圆的直径AB＝6，C是半圆上的一点，D，E分别是AB，BC上的点，且AD＝1，BE＝4，DE＝3. (1)求证：∥； (2)求||； (3)求向量与向量的夹角的余弦值． 解析：　(1)证明：因为AB＝6，AD＝1，所以BD＝5，又DE＝3，BE＝4， 所以DE2＋BE2＝BD2，所以△DEB是直角三角形，∠DEB＝90°. 因为点C为半圆上一点，所以∠ACB＝90°. 所以AC∥DE，故∥. (2)因为AC∥DE，所以△ABC∽△DBE， 所以＝，即＝， 解得AC＝，即||＝. (3)向量与向量的夹角即向量与向量的夹角∠EDB，则cos ∠EDB＝＝， 所以向量与向量的夹角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $