第二章 演绎推理-2022选修2-2数学总复习【格邦高中】人教A版

高中数学 选修2-2 推理与证明 测试内容：演绎推理 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 1．演绎推理 从一种一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简而言之，演绎推理是由一般到特殊的推理． 2．演绎推理的一般模式 (1)大前提——已知的一般原理； (2)小前提——所研究的特殊情况； (3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断． 3．“三段论”常用的格式 大前提：M是P. 小前提：S是M. 结论：S是P. 4．用集合知识说明“三段论” 若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P. 5.演绎推理的特点 (1)演绎推理的前提是一般性原理，演绎推理所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中． (2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的．因而演绎推理是数学中严格证明的工具． (3)演绎推理是一种收敛性的思维方式，它较缺乏创造性，但却具有条理清晰，令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化． 题型一：把演绎推理写成三段论的形式 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“三段论”就是演绎推理．(　　) (2)演绎推理的结论一定是正确的．(　　) (3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)× 2．做一做 (1)用演绎推理证明“y＝sinx是周期函数”时的大前提是________，小前提是________． (2)正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理中“三段论”中的________是错误的． (3)推理某一“三段论”，其前提之一为肯定判断，结论为否定判断，且推理形式正确，由此可以推断，该三段论的另一前提必为________判断(选填“肯定”或“否定”)． 答案　(1)三角函数是周期函数　y＝sinx是三角函数 (2)小前提　(3)否定 3.将下列演绎推理写成三段论的形式． (1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分； (2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的底角，则∠A＝∠B； (3)通项公式an＝2n＋1表示的数列{an}为等差数列； (4)y＝sin2x的最小正周期是π. [解]　(1)∵平行四边形的对角线互相平分，大前提 菱形是平行四边形，小前提 ∴菱形的对角线互相平分．结论 (2)∵等腰三角形两底角相等，大前提 ∠A，∠B是等腰三角形的底角，小前提 ∴∠A＝∠B.结论 (3)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列，大前提 通项公式an＝2n＋1时，若n≥2， 则an－an－1＝2n＋1－[2(n－1)＋1]＝2(常数)，小前提 通项公式an＝2n＋1表示的数列为等差数列．结论 (4)∵y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的最小正周期为 T＝，大前提 y＝sin2x是上述形式的函数，小前提 ∴y＝sin2x的最小正周期为T＝＝π.结论 拓展提升 三段论由大前提、小前提和结论组成；大前提提供一般原理，小前提提供特殊情况， 两者结合起来，体现一般原理与特殊情况的内在联系，在用三段论写推理过程时，关键是明确命题的大、小前提． 4.把下列推断写成三段论的形式： (1)因为△ABC三边的长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形； (2)函数y＝2x＋5的图象是一条直线； (3)等边三角形的内角和是180°. 解　(1)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形，大前提 △ABC三边的长依次为3,4,5，而32＋42＝52，小前提 △ABC是直角三角形．结论 (2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，大前提 函数y＝2x＋5是一次函数，小前提 函数y＝2x＋5的图象是一条直线．结论 (3)三角形的内角和是180°，大前提 等边三角形是三角形，小前提 故等边三角形的内角和是180°.结论 题型二：演绎推理在几何中的应用 5.在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，求证：ABCD为平行四边形，写出三段论形式的演绎推理． [证明]　(1)连接AC. (2)平面几何中的三角形“边边边”定理是：有三边对应相等的两个三角形全等，这一定理相当于： 对于任意两个三角形，如果它们的三边对应相等，则这两个三角形全等，大前提 △ABC和△CDA的三边对应相等，小前提 则这两个三角形全等．结论 符号表示为： ⇒△ABC≌△CDA. (3)由全等三角形的定义可知：全等三角形的对应角相等，这一性质相