第六章 计数原理 专题04 二项展开式项的问题--2021-2022学年“高人一筹”之高二数学“痛点”大揭秘（人教A版2019选择性必修第三册）

第6章 计数原理 专题04 二项展开式项的问题 解决二项展开式有关的问题,要熟记二项展开式的通项,求某一项或某一项的系数等问题,都要用到。有关系数问题,要区别开项的系数与二项式系数的。 从近几年高考命题看,考查考查力度与以往基本相同,与之相关的题目,难度不大. 【题型导图】 类型一 二项式系数与项的系数 例1:(2022·山东·高二)已知展开式中第3项和第7项的二项式系数相等. (1)求展开式中含的项的系数; (2)系数最大的项是第几项? 【变式1】(2022·广东)已知的展开式中二项式系数之和为256,则该展开式中含x项的系数为( ) A.896 B.1024 C.1792 D.2048 【变式2】.(2022·安徽省亳州市)在的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中的系数为( ) A. B. C. D. 【变式3】(2021·江苏·扬州)二项式的展开式中,仅有第九项的二项式系数取得最大值,则展开式中项的系数是_. 类型二 系数的和问题 例2.(2021·福建省连城县)已知展开式的二项式系数和512,且. (1)求的值; (2)求的值. 【变式1】(2021·北京·北理工附中)在的展开式中,各项系数和与二项式系数和之和为128,则_. 【变式2】(2021·全国·高二)已知是常数,若且,则_. 【变式3】(2021·全国·高二)已知. (1)若展开式中各项系数之和为,求的值; (2)若展开式中前3项的二项式系数之和等于79,求展开式中系数最大的项. 类型三 特定项有关的问题 例3.(2022·山西运城)已知二项式的展开式中,第7项为常数项. (1)求n的值; (2)求展开式中所有有理项. 【变式1】(2022·山西·灵丘县)的展开式中的系数是( ) A.56 B.84 C.96 D.126 【变式2】(2021·全国·高二)若(a3+4b2)n的展开式中有一项是ma12b8,则m,n的值分别是_. 【变式3】(2021·安徽省亳州市)已知展开式前三项的二项式系数和为22. (1)求展开式中的常数项; (2)求展开式中系数最大的项. 【限时训练】 1.(2022·河南)若的展开式中第3项为常数项,则该展开式中各项系数的和为( ) A.729 B.64 C.1 D. 2.(2021·安徽)在的展开式中,只有第五项的二项式系数最大,则展开式中的系数为( ) A. B. C. D. 3.(2022·山西师范大学实验中学)在的展开式中,偶数项的二项式系数之和为128,则展开式中二项式系数最大的项的系数为( ) A.-960 B.960 C.1120 D.1680 4.(2022·山东·高二)已知,则( ) A. B. C. D. 5.(2020·重庆·高二)的展开式中各项系数的和为,则该展开式中的系数是( ) A. B. C. D. 6.(2022·陕西)已知的展开式中二项式系数和为128,则展开式中有理项的项数为_. 7.(2021·全国·高二)已知,记,则n=_. 8.(2021·四川乐山)的展开式中的中间一项是_. 9.(2022·山西省长治市)已知在的展开式中,只有第6项的二项式系数最大.求:(1)的值及常数项; (2)含的整数次幂的项的个数. 10.(2021·河北·武安市)已知二项式展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大240, (1)求n; (2)求展开式中所有含x的有理项. ( 11 )原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 学科网(北京)股份有限公司 $第6章 计数原理 专题04 二项展开式项的问题 解决二项展开式有关的问题,要熟记二项展开式的通项,求某一项或某一项的系数等问题,都要用到。有关系数问题,要区别开项的系数与二项式系数的。 从近几年高考命题看,考查考查力度与以往基本相同,与之相关的题目,难度不大. 【题型导图】 类型一 二项式系数与项的系数 例1:(2022·山东·高二)已知展开式中第3项和第7项的二项式系数相等. (1)求展开式中含的项的系数; (2)系数最大的项是第几项? 【答案】(1)1120 (2)第3项 【解析】(1)依题意,,由组合数的性质得, 于是得展开式的通项, 由得,则, 所以展开式中含的项的系数为; (2)令Tr+1项的系数的绝对值最大,由(1)得, 即, 整理得,解得,而,从而得或, 由通项公式可知,偶数项的系数为负,所以展开式中系数最大项是第3项. 【变式1】(2022·广东)已知的展开式中二项式系数之和为256,则该展开式中含x项的系数为( ) A.896 B.1024 C.1792 D.2048 【答案】C 【解析】因为的展开式中二项式系数之和为256,所以,解得, 所以展开式的通项公式为, 令,可得,所以该展开式中含x项的系数为, 故选:C. 【变式2】.(