专题07 平面直角坐标系中图形面积的求解模型-【专题突破】2021-2022学年七年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义(人教版)

专题训练（七）平面直角坐标系中图形面积的求解模型 有关平面直角坐标系中的面积问题，一般的解决步骤： 1、 确定图形； 2、 求点坐标； 3、 由点坐标求线段长； 4、 得面积。 题型一：求三角形的面积 示例：如图，在直角坐标系中，A（−1，5），B（−1，0），C（−4，3）．求△ABC的面积。 【答案】∵A（−1，5），B（−1，0），C（−4，3） ∴AB=5 h=3 ∴△ABC的面积是：×3×5＝7.5； 1． 如图，在平面直角坐标系中，点A（3，3），B（5，1），C（﹣2，﹣3）． 2． (1)在图中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并直接写出点A1 ，B1 ，C1 的坐标． (2)求△ABC的面积． 【答案】（1）A1 （﹣3，3），B1 （﹣5，1），C1 （2，﹣3）． (2)解：S△ABC＝6×7-×6×5﹣×2×2﹣×7×4＝11． 2．如图，已知在平面直角坐标系中，OA＝OB＝4，BC＝12，点P的坐标是(a，6)． (1)直接写出ABC顶点A，C的坐标； (2)若点P坐标为(1，6)，连接PA，PB，求PAB的面积； (3)是否存在点P，使PAB的面积等于ABC的面积？如果存在，请求出点P的坐标． 【答案】(1)∵OA＝OB＝4，BC＝12， ∴A（0，4），OC＝12﹣4＝8， ∴C（8，0）； (2)连接OP，如图1所示： ∵点P坐标为（1，6）， ∴S△PAB＝S△POB﹣S△AOB﹣S△OAP＝×4×6﹣×4×4﹣ ×4×1＝2； (3)存在点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积，理由如下： ∵点P的坐标是（a，6）， ∴点P在直线y＝6上运动， 分两种情况： ①当点P在y轴左侧时，a＜0， 连接OP，如图2所示： ∵S△PAB＝S△OPB+S△OAP﹣S△AOB，S△PAB＝S△ABC， ∴×4×6+×4×（﹣a）﹣×4×4＝×12×4， 解得：a＝﹣10， ∴P（﹣10，6）； ②当点P在y轴右侧时，a＞0， 连接OP、CP，如图3所示： ∵S△PAB＝S△AOB+S△AOP+S△OCP﹣S△BCP，S△PAB＝S△ABC， ∴×4×4+×4×a+×8×6﹣×12×6＝×12×4， 解得：a＝14， ∴P（14，6）； 综上，存在点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积，点P的坐标为（﹣10，6）或（14，6）． 3．如图①，在平面直角坐标系中，，，且满足，过C作CB⊥x轴于点B． (1)求三角形ABC的面积； (2)如图②，若过B作BDAC交y轴于点D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，求∠AED的度数； (3)如图③，点P在y轴正半轴上，三角形APC与三角形ABC的面积相等，求点P的坐标． 【答案】(1)， ， ， ， ； (2)过点O作， 则， ， ， ， ， 同理，， AE，DE分别平分和， ，， ， 故； (3)， ， ， 解得， ，故点P坐标为： ． 题型二：求四边形的面积 示例：在如下所示的平面直角坐标系中， （1）描出、、、四个点． （2）线段、有什么位置关系和数量关系？ （3）顺次连接四点，求四边形的面积． 【答案】（1）如图，A，B，C，D的位置如图示： （2）如图，∵A（-3，-2），B（2，-2）， ∴AB=5，轴． 又∵C（-2，1），D（3，1）， ∴CD=5，轴． ∴AB=CD、； （3）∵AB=CD，； ∴四边形ABDC的面积=AB×h=15，即四边形ABDC的面积是15． 4．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是O（0，0），A（﹣4，10），B（﹣12，8），C（﹣14，0）．则四边形OABC的面积为___． 【答案】如图，过A点作AE⊥x轴于E，作BF⊥x轴于F， 四边形OABC的面积＝S△BCF+S梯形ABFE+S△AOE ＝ ×（﹣12+14）×8+×（8+10）×（﹣4+12）+×4×10 ＝100． 故答案为：100 5．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD． (1)直接写出点C，点D的坐标为C______   D______； (2)求出四边形ABDC的面积； (3)在x轴上是否存在一点F，使得的面积是面积的4倍，若存在，请求出点F的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，． (2)∵，，， ∴，． ． (3)存在． ∵，， ∴． ∵，， 又， ∴． ∵，点F在x轴上， ∴或． 6．如图，在平面直角坐标系中，点A(4，0)，B(3，4)，C(0，2)． (1)求S四边形ABCO； (2)连接