8.2 离散型随机变量及其分布列-【固本培优系列】2021-2022学年高二数学下学期同步精品培优讲义(苏教版2019选择性必修第二册)

第八章 概率 8.2离散型随机变量及其分布列 【必备知识】 知识点1:随机变量及其分布列 1.离散型随机变量与分布列 随机变量:一般地,对于随机试验样本空间中的每个样本点,都有唯一的实数与之对应,我们称为随机变量. 离散型随机变量:所有取值可以一一列出的随机变量. 2.离散型随机变量分布列的概念及性质 概念:若离散型随机变量可能取的不同值为取每一个值, n)的概率,以表格的形式表示如下: 此表称为离散型随机变量的概率分布列,简称为的分布列.有时也用等式 ,表示的分布列. (2)分布列的性质 ①; ② . 【典例1】设随机变量的分布列如下表，则实数的值为（   ） X -1 0 1 P A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 依题意. 故选：B 【典例2】设随机变量的分布列为，则等于（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由题意知，概率分布为 由， 解得. 所以. 故选:C. 知识点2:离散型随机变量的数字特征 1. 离散型随机变量的均值 一般地,若离散型随机变量的分布列为: 则称为随机变量的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. (1)E(X)是一个实数,由X的分布列唯一确定,即作为随机变量,X是可变的,可取不同值,而E (X)是不变的, 它描述取值的平均状态. (2)E直接给出了的求法,即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加. 2. 离散型随机变量的方差 一般地,若离散型随机变量的分布列为: 为这些偏离程度的加权平均,刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度.称为随机变量的方差,并称其算术平方根为随机变量的标准差. 特点: 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.D(X)越大,表明平 均偏离程度越大,的取值越分散.反之,越小,的取值越集中在附近. 3.常用结论 若,其中a, b是常数,是随机变量, 则 (1),其中为常数; (2); (3); (4); (5)若相互独立,则. 【典例3】一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数0，两个面上标有数1，一个面上标有数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上两个数的积的均值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 设抛掷1次向上的数字为，抛掷2次向上的数字之积为， 则由题意可知，，， 所以，， ，， 所以． 故选：A. 【典例4】已知随机变量的分布列为： 设，则的数学期望的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 根据分布列的性质，得，解得， 所以随机变量的数学期望为．又， 所以随机变量的数学期望为． 故选：C. 【典例5】设，若随机变量的分布如下： 0 2 2a 3a 则下列方差值中最大的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由题意，得，则， 所以， 所以，， 所以， ，所以最大． 故选：． 知识点3:二项分布 1.独立重复试验 一般地,在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验. 独立重复试验的条件:(1)每次试验在相同条件下可重复进行;(2)各次试验是相互独立的;(3)每次试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生. 2.二项分布 一般地,在次独立重复试验中,设事件发生的次数为,在每次试验中事件发生的概率为,则事件 恰好发生次的概率为,则称随机变量服从二项分布,记作. 注意:判断一个随机变量是否服从二项分布,要看两点:(1)是否为次独立重复试验;(2)随机变量是否为某事件在这次独立重复试验中发生的次数. 3.二项分布的期望与方差 分布 期望 方差 二项分布 【典例6】设，其中，且，那么（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：根据题意得，即， 解得或（舍去）， 故. 故选：D 【典例7】已知随机变量服从二项分布，当时，的最大值是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 解：因为随机变量服从二项分布， 所以， 所以， ， ， ， ∴， 故选：B． 【典例8】若随机变量，，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由题意，，解得，则，所以. 故